2007-2008学年江苏省常州市溧阳中学高二（上）段考数学试卷 （解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题p：若a＞0，则方程x²+x-a=0有实根．命题p的逆命题是    ；其真假为    ．

2. 难度：中等

命题“对任意的X∈R，x³-x²+1≤0”的否定是：    ．

3. 难度：中等

抛物线y=ax²（a≠0）的准线方程是    ．

4. 难度：中等

以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=x²cosx的导数    ．

6. 难度：中等

函数f（x）=x+2sinx在区间（0，2π）内的极大值为    ．

7. 难度：中等

设p：x²-x-6＜0，则p的一个充分而不必要条件是    ．（填写一个满足题意的即可）

8. 难度：中等

双曲线的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上，若PF₁⊥PF₂，则点P到x轴的距离为    ．

9. 难度：中等

若点P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是    ．

10. 难度：中等

已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为     ．

11. 难度：中等

如图，已知定点A（1，0），定圆C：（x+1）²+y²=8，M为圆C上的一个动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足，则点N的轨迹方程是    ．

12. 难度：中等

椭圆ax²+by²=1与直线y=1-x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为    ．

13. 难度：中等

已知命题p：∀x，y∈N，点P（x，y）在第一象限；命题q：∃x∈R，使得x²-5x+6=0成立．则“p或q”、“p且q”、“¬p或¬q”、“¬p且q”四个命题中真命题的个数为    个．

14. 难度：中等

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）-f（x）≤0，对任意正数a、b，若a＜b，则下列不等式一定成立的有：    ；（把你认为正确的结论的序号都填上）
①af（a）≤f（b）；②bf（b）≤f（a）；③bf（a）≤af（b）；④af（b）≤bf（a）

二、解答题

15. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，A、B分别为直线x+y=2与x、y轴的交点，C为AB的中点、若抛物线y²=2px（p＞0）过点C，求焦点F到直线AB的距离．

16. 难度：中等

设p：方程表示双曲线；q：函数在R上有极大值点和极小值点各一个，求使“p且q”为真命题的实数m的取值范围．

17. 难度：中等

已知曲线C：y=x³-3x²+2x
（1）求曲线C上斜率最小的切线方程．
（2）过原点引曲线C的切线，求切线方程及其对应的切点坐标．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设直线l经过点P（3，）且与x轴交于点F（2，0）．
（1）求直线l的方程．
（2）如果椭圆C经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程．
（3）若在（1）、（2）的情况下，设直线l与椭圆的另一个交点为Q，且，当取最小值时，求λ的对应值．

19. 难度：中等

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r，短半轴长为r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．
（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）求面积S的最大值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=ax³+bx+c是定义在R上的奇函数，且函数f（x）的图象在x=1处的切线方程为y=3x+2．
（1）求a，b，c的值；
（2）若对任意x∈（0，1]都有成立，求实数k的取值范围；
（3）若对任意x∈（0，3]都有|f（x）-mx|≤16成立，求实数m的取值范围．