2010-2011学年浙江省嘉兴一中高二（下）期中数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若函数f（x）=x³+2x²-1，则f′（-1）=（ ）
A．-7
B．-1
C．1
D．7

2. 难度：中等

演绎推理中的“三段论”是指（ ）
A．第一段、第二段、第三段
B．大前提、小前提、结论
C．归纳、猜想、证明
D．分三段来讨论

3. 难度：中等

已知复数z=1-2i，那么=（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

函数f（x）=2x³-3x²-12x+5在[0，3]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．12，-15
B．-4，-15
C．12，-4
D．5，-15

5. 难度：中等

用反证法证明：若整系数一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有有理数根，那么b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ）
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个偶数
D．假设a、b、c至多有两个偶数

6. 难度：中等

若函数f（x）=x³+f′（1）x²-f′（2）x+3，则f（x）在点（0，f（0））处切线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．π

7. 难度：中等

如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-1

8. 难度：中等

函数f（x）=3x⁵-5x³-9的极值点的个数 （ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

9. 难度：中等

给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）=（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）
A．f（x）=sinx+cos
B．f（x）=lnx-2
C．f（x）=-x³+2x-1
D．f（x）=-xe^-x

10. 难度：中等

定义A﹡B，B﹡C，C﹡D，D﹡A的运算分别对应下图中的（1）、（2）、（3）、（4），那么下图中的（5）、（6）所对应的运算结果可能是（ ）

A．B*D，A*D
B．B*D，A*C
C．B*C，A*D
D．C*D，A*D

11. 难度：中等

设函数f（x）=x³+x²+tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′（1）的取值范围是（ ）
A．[-2，2]
B．[，]
C．[，2]
D．[，2]

12. 难度：中等

定义在R上的可导函数f（x），已知y=e^f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的增区间是（ ）

A．（-∞，1）
B．（-∞，2）
C．（0，1）
D．（1，2）

二、填空题

13. 难度：中等

一个物体的运动方程为s=1-t+t²其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是    米/秒．

14. 难度：中等

曲线y=x³在点（1，1）切线方程为     ．

15. 难度：中等

函数f（x）=alnx+x在x=1处取得极值，则a的值为    ．

16. 难度：中等

下表给出了一个“三角形数阵”：

依照表中数的分布规律，可猜得第6行第4个数是    ．

17. 难度：中等

的单调增区间为    ．

18. 难度：中等

f（x）=ax³-3x（a＞0）对于x∈[0，1]总有f（x）≥-1成立，则a的范围为    ．

三、解答题

19. 难度：中等

设复数，若z²+ai+b=1+i，求实数a，b的值．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x-xlnx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=t在上有两个实数解，求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

已知a，b∈R，且a+b=1．求证：．

22. 难度：中等

已知直线l₁为曲线y=x²+x-2在点（1，0）处的切线，l₂为该曲线的另一条切线，且l₁⊥l₂．
（Ⅰ）求直线l₂的方程；
（Ⅱ）求由直线l₁、l₂和x轴所围成的三角形的面积．

23. 难度：中等

某水库堤坝因年久失修，发生了渗水现象，当发现时已有200m²的坝面渗水．经测算知渗水现象正在以每天4m²的速度扩散．当地政府积极组织工人进行抢修．已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m²，每人每天所消耗的维修材料费75元，劳务费50元，给每人发放50元的服装补贴，每渗水1m²的损失为250元．现在共派去x名工人，抢修完成共用n天．
（Ⅰ）写出n关于x的函数关系式；
（Ⅱ）要使总损失最小，应派去多少名工人去抢修（总损失=渗水损失+政府支出）．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax．
（I）当a=3时，求f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值；
（II）已知函数g（x）=ax（|x+a|-1），记h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，2]），当函数h（x）的最大值为0时，求实数a的取值范围．