2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷06（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i是虚数单位，若为纯虚数，则实数a=（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．1或-l

2. 难度：中等

已知集合的定义城为Q，则Q∩P=（ ）
A．{x|1＜x＜3}
B．{x|1＜x≤2}
C．{x|2≤x＜3}
D．{x|x＞1}

3. 难度：中等

已知α，β为三角形内角，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期．从这6瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊊α，则n∥α
B．若m∥n，m⊊α，n⊊β，则α∥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β．

6. 难度：中等

把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C-ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

函数f（x）=sin2x-存在零点的区间为（ ）
A．（0，1）
B．（1，2）
C．（2，3）
D．（3，4）

8. 难度：中等

若，则α的值为（ ）
A．2kπ，k∈Z
B．kπ，k∈Z
C．（2k+1）π，k∈Z
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG是边长为2的等边三角形，则f（1）的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，F₁、F₂是双曲线的左、右焦点，过F₁的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B．若△ABF₂为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）

A．4
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₂₀₀₃+a₂₀₀₅+a₂₀₀₇+a₂₀₀₉+a₂₀₁₁+a₂₀₁₃=120，则2a₂₀₁₈-a₂₀₂₈的值为    ．

12. 难度：中等

在如图的程序框图中，输出S的值为    ．

13. 难度：中等

某公司有职工2000名，从中随机抽取200名调查他们的居住地与上班工作地的距离，其中不超过1000米的共有10人，不超过2000米的共有30人，由此估计该公司所有职工中，居住地到上班地距离在（1000，2000]米的有    人．

14. 难度：中等

已知f（x）是偶函数，当x＞0时，其导函数f′（x）＜0，则满足的所有x之和为    ．

15. 难度：中等

若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，则的最小值为    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a=    ．

17. 难度：中等

如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则x+y=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

设函数f（x）=msinx+cosx的图象经过点（，1）．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式，并求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若f（）=sinA，其中A是面积为的锐角△ABC的内角，且AB=2，求边AC的长．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n；
（3）求满足的最大正整数n的值．

20. 难度：中等

边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，沿BD折成直二面角，过点A作PA⊥平面ABD，且．
（Ⅰ）求证：PA∥平面DBC；
（Ⅱ）求直线PC与平面DBC所成角的大小．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+x²+b，g（x）=alnx．
（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥-x²+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．

22. 难度：中等

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为，准线为l，点P（x，y）（y_o＞p）为抛物线C上的一点，且△FOP的外接圆圆心到准线的距离为．
（I）求抛物线C的方程；
（II）若圆F的方程为x²+（y-1）²=1，过点P作圆F的2条切线分别交x轴于点M，N，求△PMN面积的最小值及此事y的值．