Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是数列{log₂a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n；
（3）求满足的最大正整数n的值．

Answer

（1）将条件中的和关系式转化为数列的项关系，判断数列的特征，再求解；
（2）利用等差数列的前项n和公式求解即可；
（3）利用约分消项化简左式，判断n满足的条件，分析求解即可．
【解析】
（1）∵当n≥2时，Sn+1+4Sn-1=5Sn，
∴Sn+1-Sn=4（Sn-Sn-1）．∴an+1=4an．
∵a1=2，a2=8，∴a2=4a1．
∴数列{an}是以a1=2为首项，公比为4的等比数列．
∴．
（2）由（1）得：log2an=log222n-1=2n-1，
∴Tn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+3+…+（2n-1）==n2．
（3）=
===．
令，解得：．
故满足条件的最大正整数n的值为287．