2013年四川省成都市龙泉驿区0.5诊数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，A={1，2，3}，B={2，4，6}，则（∁_UA）∩B=（ ）
A．{2，4}
B．{2，6}
C．{4，6}
D．{2，4，6}

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，a₁+a₄+a₁₀+a₁₆+a₁₉=150，则a₁₀=（ ）
A．15
B．30
C．40
D．50

3. 难度：中等

下列函数中，在R上单调递增的是（ ）
A．y=|x|
B．y=log₂
C．y=
D．y=0.5^x

4. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（ ）

A．
B．
C．2000cm³
D．4000cm³

5. 难度：中等

已知约束条件为，则目标函数z=3x+5y（ ）
A．无最大值有最小值
B．无最小值有最大值
C．无最大值和最小值
D．有最大值和最小值

6. 难度：中等

如果a＜b＜0，那么，下列不等式中正确的是（ ）
A．
B．a²＜b²
C．
D．

7. 难度：中等

已知函数y=sinax+b（a＞0）的图象如图所示，则函数y=log_a（x+b）的图象可能是（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设函数f（x）=则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2]∪[0，10]
B．（-∞，-2]∪[0，1]
C．（-∞，-2]∪[1，10]
D．[-2，0]∪[1，10]

9. 难度：中等

若f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数且方程f（x）=0在[1，2]内只有一个零点x=1.5，则方程f（x）=0在区间（0，5]内解的个数是（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

10. 难度：中等

某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应．若公司本次新产品生产开始月x后，公司的存货量大致满足模型f（x）=-2x³+6x+20，那么下次生产应在（ ）月后开始．
A．1
B．2
C．3
D．4

11. 难度：中等

△ABC中，A=，BC=3，则△ABC的周长为（ ）
A．4sin（B+）+3
B．4sin（B+）+3
C．6sin（B+）+3
D．6sin（B+）+3

12. 难度：中等

已知集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．若点A（1，f（1））、B（2，f（2））、C（3，f（3）），△ABC的外接圆圆心为D，且，则满足条件的函数f（x）有（ ）
A．6个
B．10个
C．12个
D．16个

二、填空题

13. 难度：中等

计算：=    ．

14. 难度：中等

已知||=2，||=，，则与的夹角θ=    ．

15. 难度：中等

已知a＞0，二项式展开式中常数项为1120，则此展开式中各项系数的和等于    ．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=|x-a|x+b（a，b∈R），给出下列命题：
（1）当a=0时，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称；
（2）当x＞a时，f（x）是递增函数；
（3）当0≤x≤a时，f（x）的最大值为+b．
其中正确的序号是     ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知在等比数列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中项．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若数列{b_n}满足，求{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=0，若向量与共线，求a，b的值．

19. 难度：中等

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现在采用分层抽样法（层内采用不放回的简单随机抽样）从甲，乙两组中共抽取3人进行技术考核．
（1）求甲，乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率；
（3）令X表示抽取的3名工人中男工人的人数，求X的分布列及数学期望、

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD'所成角的正弦值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x）-x的最大值；
（2）若∀x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数（a，b，c为常数，a≠0）．
（Ⅰ）若c=0时，数列a_n满足条件：点（n，a_n）在函数的图象上，求a_n的前n项和S_n；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若a₃=7，S₄=24，p，q∈N^*（p≠q），证明：；
（Ⅲ）若c=1时，f（x）是奇函数，f（1）=1，数列x_n满足，x_n+1=f（x_n），求证：．