2013年河北省衡水中学高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设，B={x|x＞a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．a≤1
D．a＜1

2. 难度：中等

某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12

3. 难度：中等

已知等比数列{a_n}满足a₁+a₂=3，a₂+a₃=6，则a₇=（ ）
A．64
B．81
C．128
D．243

4. 难度：中等

已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

5. 难度：中等

已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若（x+）ⁿ展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．120

7. 难度：中等

设集合A={0，1，2，3}，如果方程x²-mx-n=0（m，n∈A）至少有一个根x∈A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10

8. 难度：中等

如图，ABCD是边长为l的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O，且通过点C，则阴影部分的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3

10. 难度：中等

点P到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为，则OP两点之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．2

12. 难度：中等

已知以T=4为周期的函数，其中m＞0，若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

二、填空题

13. 难度：中等

已知cos2θ=，则sin⁴θ+cos⁴θ=    ．

14. 难度：中等

在约束条件下，过点（1，1）目标函数z取得最大值10，则目标函数z=     （写出一个适合题意的目标函数即可）．

15. 难度：中等

四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，四棱锥P-ABCD的五个顶点都在一个球面上，E、F分别是棱AB、CD的中点，直线EF被球面所截得的线段长为，则该球表面积为    ．

16. 难度：中等

已知等差数列a_n的首项a₁及公差d都是整数，前n项和为S_n，若a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，设b_n=2ⁿa_n，则b₁+b₂+…+b_n的结果为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合计	M	1

（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；
（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；
（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．

18. 难度：中等

已知α为锐角，且，函数，数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求证：数列{a_n+1}为等比数列；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

19. 难度：中等

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC，PD⊥平面ABCD，AD=1，，BC=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求直线AB与平面PDC所成的角；
（Ⅲ）设点E在棱PC上，，若DE∥平面PAB，求λ的值．

20. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）经过点M（1，），且其右焦点与抛物线的焦点F重合．
①求椭圆C₁的方程；
②直线l经过点F与椭圆C₁相交于A、B两点，与抛物线C₂相交于C、D两点．求的最大值．

21. 难度：中等

给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．
（I）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（II）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点，且l₁，l₂分别交其“准圆”于点M，N．
①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l₁，l₂的方程；
②求证：|MN|为定值．

22. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）当时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x，y）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值．