2013年四川省南充市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数=（ ）
A．2-i
B．2+i
C．-1-2i
D．-1+2i

2. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|0＜2^x＜1}，B={x|log₃x＞0}，则A∩（∁_UB）=（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＜0}

3. 难度：中等

设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件为（ ）
A．a⊥c，b⊥c
B．α⊥β，a⊂α，b⊂β
C．a⊥α，b∥α
D．a⊥α，b⊥α

4. 难度：中等

已知命题是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

为了得到函数y=sin（2x-）的图象，只需把函数y=sin（2x+）的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

6. 难度：中等

函数y=log_a（|x|+1）（a＞1）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的S的值是（ ）
A．-1
B．
C．
D．4

8. 难度：中等

设等差数列{a_n} 的前n项和为S_n，a₂、a₄是方程x²-2x+b=0的两个根，则S₅等于（ ）
A．5
B．-5
C．
D．-

9. 难度：中等

已知三角形ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB，AC于E、F两点，若=（λ＞0），=μ（μ＞0），则的最小值是（ ）
A．.9
B．
C．5
D．

10. 难度：中等

已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图所示（正视图弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是    cm³．

12. 难度：中等

若（ax-1）⁵的展开式中x³的系数是80，则实数a的值是    ．

13. 难度：中等

在体积为V的三棱锥S-ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥P-SBC的体积大于的概率是    ．

14. 难度：中等

已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为    ．

15. 难度：中等

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，定义y=f″（x）是函数y=f′（x）的导函数．若方程f″（x）=0有实数解x，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：任何一个三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．根据这一发现，对于函数g（x）=x³-x²+3x++，则…+的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.，，且．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=1，．求S_△ABC．

17. 难度：中等

某班级举行一次知识竞赛活动，活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

分数（分数段）	频数（人数）	频率
[60，70）	①	0.16
[70，80）	22	②
[80，90）	14	0.28
[90，100）	③	④
合计	50	1

（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
（2）决赛规则如下：参加决赛的每位同学依次口答4道小题，答对2道题就终止答题，并获得一等奖．如果前三道题都答错，就不再答第四题．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于80分的频率的值相同．
①求该同学恰好答满4道题而获得一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

19. 难度：中等

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，S_n是和a_n的等差中项．
（Ⅰ）证明数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明．

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x（1nx+1）（x＞0）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（II）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（III）若斜率为k的直线与曲线y=f′（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：．