2009年湖北省襄樊市高三三月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设a，b，c∈R，则复数（a+bi）（c+di）为实数的充要条件是（ ）
A．ad-bc=0
B．ac-bd=0
C．ac+bd=0
D．ad+bc=0

2. 难度：中等

的值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

将函数f（x）=2^x+1-1的反函数的图象按向量=（1，1）平移后得到函数g（x）的图象，则g （x）的表达式为（ ）
A．g（x）=log₂（x+2）
B．g（x）=log₂
C．g（x）=log₂x-2
D．g（x）=log₂x+2

4. 难度：中等

已知函数f（x）=sin （ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称
D．关于直线x=对称

5. 难度：中等

两个正方体M₁、M₂，棱长分别a、b，则对于正方体M₁、M₂有：棱长的比为a：b，表面积的比为a²：b²，体积比为a³：b³．我们把满足类似条件的几何体称为“相似体”，下列给出的几何体中是“相似体”的是（ ）
A．两个球
B．两个长方体
C．两个圆柱
D．两个圆锥

6. 难度：中等

设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为（ ）
A．（-1，0）∪（1，+∞）
B．（-∞，-1）∪（0，1）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

7. 难度：中等

袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

直线MN与双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左右支分别交于M、N点，与双曲线的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|=2|FN|，又=λ（λ∈R），则实数λ的值为（ ）

A．
B．2
C．
D．3

9. 难度：中等

设P表示平面图形，m（P）是P表示的图形面积．知A={（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤r²}，B={（x，y）|2x+3y-5≤0}，且m（A∩B）=m（A），则下列恒成立的是（ ）
A．2a+3b-5≤0
B．2a+3b-5≥0
C．2a+3b-5=0
D．2a+3b-5＜0

10. 难度：中等

函数的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

过点A（2，-3），且与向量m=（4，-3）垂直的直线方程是    ．

12. 难度：中等

从1到100的正整数中删去所有2的倍数及3的倍数后，剩下数有    个．

13. 难度：中等

顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=1，，则A、C两点的球面距离为    ．

14. 难度：中等

假设甲、乙、丙三镇两两之间的距离皆为20公里，两条笔直的公路交于丁镇，其中一条通过甲、乙两镇，另一条通过丙镇．现在一比例精确的地图上量得两公路的夹角为45°，则丙、丁两镇间的距离为    公里．

15. 难度：中等

研究问题：“已知关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（1，2），则关于x的不等式cx²-bx+a＞0有如下解法：由，令，则，所以不等式cx²-bx+a＞0的解集为．参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3），则关于x的不等式的解集    ．

16. 难度：中等

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），．
（1）若，求角α的值；
（2）若，求的值．

17. 难度：中等

在如图所示的四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BC=CD=1．
（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-D的大小；
（3）若直线BD与平面ACD所成的角为θ，求θ的取值范围．

18. 难度：中等

某商场举行周末有奖促销活动，凡在商场一次性购物满500元的顾客可获得一次抽奖机会．抽奖规则：自箱中一次摸出两个球，确定颜色后放回，奖金数如下表：

球的颜色	一红一蓝	两蓝	两红
奖金数	100元	150元	200元

经测算该商场赢利为销售额的10%，已知箱中已放有2个红色球和5个蓝色球，为使本次抽奖活动不亏本，该商场应在箱中至少放入多少个其它颜色的球？（抽出任一颜色球的概率相同）．

19. 难度：中等

已知点A（-1，0）、B（1，0）和动点M满足：∠AMB=2θ，且|AM|•|BM|cos²θ=3，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

20. 难度：中等

若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx．
（I）求F（x）=f（x）-g（x）的极值；
（II）函数f（x）和g（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线的方程，若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n是二项式（1+2x）²ⁿ（n∈N^* ）展开式中含x奇次幂的系数和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）=，求f（0）+f（）+f（）+…+f（）；
（3）证明：++…+≥（1-）．