2012-2013学年湖北省八市高三三月调考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

复数的共轭复数是(    )

A．                   B．               C．                      D．

2. 难度：简单

已知命题，那么命题为(    )

A．                           B．

C．                               D．

3. 难度：简单

执行右边的框图，若输入的是，则输出的值是(    )

A．120            B．720             C．1440                   D．5040

4. 难度：简单

不等式组表示的平面区域是 (    )

A．矩形               B．三角形                 C．直角梯形        D．等腰梯形

5. 难度：简单

设，函数的导函数是，且是奇函数，则的值为(    )

A．               B．            C．                     D．

6. 难度：简单

如图，设是图中边长为2的正方形区域，是函数的图象与轴及围成的阴影区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为(    )

A．                     B．        C．         D．

7. 难度：中等

下列结论正确的是(    )

①“”是“对任意的正数，均有”的充分非必要条件

②随机变量服从正态分布，则

③线性回归直线至少经过样本点中的一个

④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其

平均数为,中位数为,众数为，则有

A．③④                  B．①②                             C． ①③④              D．①④

8. 难度：简单

《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把个面包分给个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小份为(    )

A．         B．                    C．                      D． 

9. 难度：简单

已知函数，则函数的零点个数是(    )

A．4                     B．3               C． 2                       D．1

10. 难度：中等

抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在准线上的射影为，则的最大值为(    )

A．          B．                                C．                             D． 

二、填空题

11. 难度：简单

在的展开式中，各项系数的和等于64，那么此展开式中含项的系数         .

12. 难度：简单

如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 (单位：cm)，则该三棱锥的外接球的表面积为 ______．

13. 难度：简单

函数的图象为，如下结论中正确的是        ．

（写出所有正确结论的编号）

① 图象关于直线对称；        ② 图象关于点对称；

③ 函数在区间内是增函数；

④ 由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．

14. 难度：简单

如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为，则

（Ⅰ）       ；

（Ⅱ）表中数82共出现        次．

15. 难度：简单

如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，              ．

16. 难度：简单

设直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线的方程为，若直线与间的距离为，则实数的值为          .

三、解答题

17. 难度：中等

已知A、B、C为的三个内角且向量与共线.

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）设角的对边分别是，且满足，试判断的形状．

18. 难度：中等

已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数列的．

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）设数列对任意自然数均有 成立，求  的值.

19. 难度：中等

如图，在长方体中，已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱，为中点，为中点，为上一个动点.

（Ⅰ）确定点的位置，使得；

（Ⅱ）当时，求二面角的平面角余弦值.

20. 难度：简单

如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层， ，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动，若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道．记小弹子落入第层第个竖直通道（从左至右）的概率为，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第层的第个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题.

（Ⅰ）试求及的值，并猜想的表达式；（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第个竖直通道得到分数为，其中，试求的分布列及数学期望．

21. 难度：困难

已知△的两个顶点的坐标分别是，且所在直线的斜率之积等于．

（Ⅰ）求顶点的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；

（Ⅱ）当时，过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称

点为(不重合) 试问：直线与轴的交点是否是定点？若是，求出定点，若不是，请说明理由.

22. 难度：中等

已知函数．

（Ⅰ）当时，函数取得极大值，求实数的值；

（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内存在导数，则存在

，使得. 试用这个结论证明：若函数

（其中），则对任意，都有；

（Ⅲ）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都

有.