Question

已知函数．

（Ⅰ）当时，函数取得极大值，求实数的值；

（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内存在导数，则存在

，使得. 试用这个结论证明：若函数

（其中），则对任意，都有；

（Ⅲ）已知正数满足，求证：对任意的实数，若时，都

有.

Answer

（Ⅰ） ；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用导数法判断函数的单调性，根据函数在极值时有极值求出参数的值；（Ⅱ）构造新函数再利用导数法求解；（Ⅲ）由已知条件得出，再利用第（Ⅱ）问的结论对任意，都有求解.

试题解析：（Ⅰ）由题设，函数的定义域为，且

所以，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减.

函数在处取得极大值，故                  4分

（Ⅱ）令，

则.

因为函数在区间上可导，则根据结论可知：存在

使得                                 7分

又，

当时，，从而单调递增，；

当时，，从而单调递减，；

故对任意，都有          .            9分

（Ⅲ），且，，

同理，                 12分

由（Ⅱ）知对任意，都有，从而

．     14分

考点：导数的基本运算；导数与函数的单调性关系；不等式的基本性质与证明.