2012-2013学年甘肃省高三上学期第一次检测理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数的共轭复数是(　)

A.       B.        C.         D.

2. 难度：中等

下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是(　)

A.        B.  

C.   D.  

3. 难度：中等

执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是(　)

A.120     B.720      C.1440     D.5040

4. 难度：中等

有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(　)

A.            B.         C.            D.

5. 难度：中等

已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=(　)

A.          B.        C.             D.

6. 难度：中等

下列命题中错误的是(　)

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

7. 难度：中等

设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　)

A.       B.           C.2           D.3

8. 难度：中等

的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(　)

A.-40        B.-20          C.20          D.40

9. 难度：中等

由直线x=,x=2,曲线及x轴所围图形的面积为(　)

A.            B.                  C.       D.2ln2

10. 难度：中等

已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题

               

                

其中的真命题是(　)

A.      B.        C.         D.

11. 难度：中等

设函数的最小正周期为，且，则(　)

 A.在单调递减         B.在单调递减

   C.在单调递增               D.在单调递增

二、填空题

12. 难度：中等

函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于(　)

 A.2         B. 4         C. 6          D.8

13. 难度：中等

若变量满足约束条件则的最小值为    .

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为.过的直线L交C于两点，且△ABF₂的周长为16，那么的方程为      .

15. 难度：中等

已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为     .

16. 难度：中等

在△ABC中，，则的最大值为    .

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）已知等比数列中，，公比．

（I）为的前n项和，证明：

（II）设，

求数列的通项公式

18. 难度：中等

(本小题满分12分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明：PA⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

19. 难度：中等

（本小题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．

（1）求X的分布列；

（2）求此员工月工资的期望.

20. 难度：中等

（本题满分为12分）已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，焦距为4，离心率为．

（I）求椭圆方程；

（II）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，又点A和点B在椭圆上，且M分有向线段所成的比为2，求线段AB所在直线的方程．

21. 难度：中等

（本题满分为12分）

  已知函数的图像过坐标原点，且在点处的切线

的斜率是．

（1）求实数的值；    （2）求在区间上的最大值；

22. 难度：中等

(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C₁的参数方程为

（为参数）M是C₁上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C₂

(Ⅰ)求C₂的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C₁的异于极点的交点为A，与C₂的异于极点的交点为B，求.

23. 难度：中等

(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数,其中.

（Ⅰ）当时，求不等式的解集；

（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值.