2013届北京市高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若是虚数单位，且，则的值为（  ）

A. －2          B. －4      C. 2            D. 4

2. 难度：中等

在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为（  ）

A.      B. 1        C.      D. 2

3. 难度：中等

等于（  ）

A.        B. 2        C.         D.

4. 难度：中等

从圆O外一点P作圆O的割线PAB和PCD，AB是圆O的直径，若，则（  ）

A. 15°     B. 30°     C. 45° D. 60°

5. 难度：中等

若～～，则（  ）

A. 2.5      B. 2.05     C. 6        D. 9

6. 难度：中等

现有排成一排的7个座位，安排3名同学就座，如果要求剩余的4个座位连在一起，那么不同的坐法总数为（  ）

A. 16       B. 18       C. 24       D. 32

7. 难度：中等

从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则（  ）

A.           B.       C.       D.

8. 难度：中等

1升水中有2只微生物，任取0.1升水化验，含有微生物的概率是（  ）

A. 0.01      B. 0.19     C. 0.1     D. 0.2

二、填空题

9. 难度：中等

若展开式中第二项与第六项的系数相等，则               ；展开式中间一项的系数为            。

10. 难度：中等

从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点M取自阴影部分的概率为             。

11. 难度：中等

复数满足，则的最小值是          。

12. 难度：中等

将5位志愿者分成3组，分赴三个不同的地区服务，不同的分配方案有       种（用数字作答）。

13. 难度：中等

在极坐标系中，曲线和相交于点A，B，则线段AB的中点E到极点的距离是           。

14. 难度：中等

已知中，，一个圆心为M，半径为的圆在内，沿着的边滚动一周回到原位。在滚动过程中，圆M至少与的一边相切，则点M到顶点的最短距离是              ，点M的运动轨迹的周长是         。

三、解答题

15. 难度：中等

已知复数。

（1）求；

（2）求的最大值。

16. 难度：中等

已知，求（请写出最后结果）：

（1）；

（2）；

（3）。

17. 难度：中等

将一个质地均匀的正方体（六个面上分别标有数字0，1，2，3，4，5）和一个正四面体（四个面分别标有数字1，2，3，4）同时抛掷一次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”。设复数。

（1）若集合{为纯虚数}，用列举法表示集合A；

（2）求事件“复数在复平面内对应的点（a，b）满足”的概率。

18. 难度：中等

某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，决出胜负即停止比赛。按以往的比赛经验，每局比赛中，甲胜乙的概率为。

（1）求比赛三局甲获胜的概率；

（2）求甲获胜的概率；

（3）设比赛的局数为X，求X的分布列和数学期望。

19. 难度：中等

在数列中，，且成等差数列，成等比数列。

（1）求及，由此猜测的通项公式，并证明你的结论；

（2）证明：。