第24章《图形的相似》中考题集（47）：24.6 图形与坐标（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是______

2. 难度：中等

点P（1，a）在反比例函数y=的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上，求此反比例函数的解析式．

3. 难度：中等

研究性学习：
在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的顶点A的坐标为（2，2）．
（1）若底边BC在x轴上，请写出1组满足条件的点B、点C的坐标：______；
设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（n，0），你认为m、n应满足怎样的条件？答：______．
（2）若底边BC的两端点分别在x轴、y轴上，请写出1组满足条件的点B、点C的坐标：______；
设点B、点C的坐标分别为（m，0）、（0，n），你认为m、n应满足怎样的条件？答：______．

4. 难度：中等

已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=，O为BC上一点，BO=，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．
（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（2）若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图③，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个．（不必求出点P的坐标）

5. 难度：中等

如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs．
（1）Q点的坐标为______（用含x的代数式表示）；
（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？
（3）记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q运动所形成的图形，并说明理由．

6. 难度：中等

如图，将边长为的菱形ABCD纸片放置在平面直角坐标系中．已知∠B=45°．
（1）画出边AB沿y轴对折后的对应线段A′B′，A′B′与边CD交于点E；
（2）求出线段CB′的长；
（3）求点E的坐标．

7. 难度：中等

如图1，以矩形ABCD的顶点A为原点，AD所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．点D的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6），点F在对角线AC上运动（点F不与点A，C重合），过点F分别作x轴、y轴的垂线，垂足为G，E．设四边形BCFE的面积为S₁，四边形CDGF的面积为S₂，△AFG的面积为S₃．
（1）试判断S₁，S₂的关系，并加以证明；
（2）当S₃：S₂=1：3时，求点F的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，把△AEF沿对角线AC所在直线平移，得到△A′E′F′，且A′，F′两点始终在直线AC上，是否存在这样的点E′，使点E′到x轴的距离与到y轴的距离比是5：4？若存在，请求出点E′的坐标；若不存在，请说明理由．

8. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，有一矩形COAB，其中三个顶点的坐标分别为C（0，3），O（0，0）和A（4，0），点B在⊙O上．
（1）求点B的坐标；
（2）求⊙O的面积．

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为______；
（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．

10. 难度：中等

如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，点P不与点0、点A重合．连接CP，过点P作PD交AB于点D．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
（3）当点P运动什么位置时，使得∠CPD=∠OAB，且，求这时点P的坐标．

11. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形AOBC的四个顶点坐标分别为A（2，2），O（0，0），B（8，0），C（6，2）．
（1）求等腰梯形AOBC的面积；
（2）试说明点A在以OB的中点D为圆心，OB为直径的圆上；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中描出下列各点：A（2，1），B（0，1），C（-4，-3），D（6，-3），并将各点用线段依次连接构成一个四边形ABCD．
（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？答：______；
（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB，△BPC，△CPD，△APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标．

13. 难度：中等

已知点P（a+1，2a-1）关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．

14. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（-6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D，使CD=AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G为y轴上一点，点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁关于直线l的对称图形是△A₂B₂C₂，写出△A₂B₂C₂的三个顶点的坐标；
（2）如果点P的坐标是（-a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P₁，点P₁关于直线l的对称点是P₂，求PP₂的长．

16. 难度：中等

如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，-3），B（4，-1）．
（1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p=______时，△PAB的周长最短；
（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a=______时，四边形ABDC的周长最短；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m=______，n=______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．

17. 难度：中等

如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的正方形AOBC，M为OB的中点，将△AOM沿直线AM对折，使O点落在O′处，连接OO′，过O′点作O′N⊥OB于N．
（1）写出点A、B、C的坐标；
（2）判断△AOM与△ONO′是否相似，若是，请给出证明；
（3）求O′点的坐标．

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，已知A（-10，0），B（-8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度，得到四边形O₁A₁P₁B₁．设四边形O₁A₁P₁B₁与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．
（1）求A₁、P₁两点的坐标（用含m的式子表示）；
（2）求周长L与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．

19. 难度：中等

把矩形纸片OABC放人直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴和y轴的正半轴上．
（1）将纸片OAB C折叠，使点A与C重合，用直尺和圆规在原图上作出折叠后的图形，并在图中标明折叠后点B的对应点B’（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在矩形OABC中，连接AC，且AC=2，tan∠OAC=，求A、C两点的坐标；并求（1）中折痕的长．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，-2a）．
（1）当a=-1时，点M在坐标系的第______象限；（直接填写答案）
（2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系中，O为坐标原点．
（1）已知点A（3，1），连接OA，平移线段OA，使点O落在点B．设点A落在点C，作如下探究：
探究一：若点B的坐标为（1，2），请在图1中作出平移后的像，则点C的坐标是______；连接AC，BO，请判断O，A，C，B四点构成的图形的形状，并说明理由；
探究二：若点B的坐标为（6，2），按探究一的方法，判断O，A，B，C四点构成的图形的形状．
（温馨提示：作图时，别忘了用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑喔！）
（2）通过上面的探究，请直接回答下列问题：
①若已知三点A（a，b），B（c，d），C（a+c，b+d），顺次连接O，A，C，B，请判断所得到的图形的形状；
②在①的条件下，如果所得到的图形是菱形或者是正方形，请选择一种情况，写出a，b，c，d应满足的关系式．

22. 难度：中等

如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A、B、C的坐标分别为（-3，-1）、（-3，-3）、（-3+，-2）．现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A₁B₁C₁，再以x轴为对称轴作△A₁B₁C₁的对称图形，得△A₂B₂C₂．
（1）直接写出点C₁、C₂的坐标；
（2）能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A₂B₂C₂的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
（3）设当△ABC的位置发生变化时，△A₂B₂C₂、△A₁B₁C₁与△ABC之间的对称关系始终保持不变．
①当△ABC向上平移多少个单位时，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合并直接写出此时点C的坐标；
②将△ABC绕点A顺时针旋转α°（0≤α≤180），使△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合，此时α的值为多少点C的坐标又是什么？

23. 难度：中等

（1）在平面直角坐标系中，将点A（-3，4）向右平移5个单位到点A₁，再将点A₁绕坐标原点顺时针旋转90°到点A₂．直接写出点A₁，A₂的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，将第二象限内的点B（a，b）向右平移m个单位到第一象限点B₁，再将点B₁绕坐标原点顺时针旋转90°到点B₂，直接写出点B₁，B₂的坐标；
（3）在平面直角坐标系中．将点P（c，d）沿水平方向平移n个单位到点P₁，再将点P₁绕坐标原点顺时针旋转90°到点P₂，直接写出点P₂的坐标．

24. 难度：中等

如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA=2，OB=1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．
（1）写出点A，C的坐标；
（2）求点A和点C之间的距离．

25. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第象限，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B的对应点B′落在y轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=30°．
（1）求点B和点A′的坐标；
（2）求经过点B和点B′的直线所对应的一次函数解析式，并判断点A是否在直线BB′上．

26. 难度：中等

如图，图形中每一小格正方形的边长为1，已知△ABC．
（1）AC的长等于______

27. 难度：中等

今后你将大量遇到用坐标的方法研究图形的运动变换．
如图1，在已建立直角坐标系的方格纸中，图形P的顶点为A，B，C，要将它平移旋转到III图（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．
例如：将图形P做如下变换（见图2）．
第一步：平移，使顶点C（6，6）移至点（4，3），得I图；
第二步：绕着点（4，3）旋转180°，得II图；
第三步：平移，使点（4，3）移至点O（0，0），得III图．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）从A，B，C三点中选取你要的点，仿照例题格式描述出另一种与上例不同的路线的图形变换．

28. 难度：中等

如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0），（0，1），（0，0）．点列P₁，P₂，P₃，…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P₁与点P₂关于点A对称，点P₂与点P₃关于点B对称，点P₃与点P₄关于点O对称，点P₄与点P₅关于点A对称，点P₅与点P₆关于点B对称，点P₆与点P₇关于点O对称…对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P₁的坐标是（1，1），试求出点P₂，P₇，P₁₀₀的坐标．

29. 难度：中等

如（a）图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（12，0），点B坐标为（6，8），点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周．
（1）点C坐标是______，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是______；
（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；
（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如（b）图，若点E与点D同时出发，问在运动5秒钟内，以点D，A，E为顶点的三角形何时与△OCD相似？（只考虑以点A、O为对应顶点的情况）

30. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系中，点C（-3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且满足+|OA-1|=0．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连接AP，设△ABP的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．