| 1. 难度：中等 | |
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如图：四边形ABCD中，E、F、G、H分别为各边的中点，顺次连接E、F、G、H，把四边形EFGH称为中点四边形．连接AC、BD，容易证明：中点四边形EFGH一定是平行四边形． （1）如果改变原四边形ABCD的形状，那么中点四边形的形状也随之改变，通过探索可以发现：当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时，四边形EFGH为菱形． 当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为矩形； 当四边形ABCD的对角线满足______时，四边形EFGH为正方形； （2）探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系，请写出你发现的结论，并加以证明； （3）如果四边形ABCD的面积为2，那么中点四边形EFGH的面积是多少？ 
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| 2. 难度：中等 | |
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在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O．过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分别是G、E、F，设AG=h1，BE=h2，CF=h3． （1）如图所示，当直线l⊥AD时（此时点G与点O重合）．求证：h2+h3=2h1； （2）将直线l绕点O旋转，使得l与AD不垂直． ①如图所示，当点B、C在直线l的同侧时，猜想（1）中的结论是否成立，请说明你的理由； ②如图所示，当点B、C在直线l的异侧时，猜想h1、h2、h3满足什么关系．（只需写出关系，不要求说明理由）  
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| 3. 难度：中等 | |
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已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=8，∠B=60°，连接AC． （1）求cos∠ACB的值； （2）若E、F分别是AB、DC的中点，连接EF，求线段EF的长． 
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| 4. 难度：中等 | |
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如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度． （1）求点E到BC的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x． ①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由； ②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．  |
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| 5. 难度：中等 | |
如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=4 ，另有一等腰梯形DEFG（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB，AC上，且G，F分别是AB，AC的中点． （1）求等腰梯形DEFG的面积； （2）操作：固定△ABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图2）． 探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由； 探究2：设在运动过程中△ABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式． |
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| 6. 难度：中等 | |
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如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点． （1）求证：四边形MENF是菱形； （2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论． 
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| 7. 难度：中等 | |
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如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点． （1）求证：△ABM≌△CDM； （2）四边形MENF是什么图形？请证明你的结论； （3）若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边BC有何数量关系？并请说明理由． 
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| 8. 难度：中等 | |
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如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为AB、CD的中点．连接AF并延长，交BC的延长线于点G． （1）求证：△ADF≌△GCF； （2）若EF=7.5，BC=10，求AD的长． 
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| 9. 难度：中等 | |
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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD． （1）请再写出图中另外一对相等的角； （2）若AC=6，BC=9，试求梯形ABCD的中位线的长度． 
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| 10. 难度：中等 | |
如图，梯形ABCD中，DC∥AB，EF是中位线，EG⊥AB于G，FH⊥AB于H，梯形的高h= （AB+DC）．沿着GE，HF分别把△AGE，△BHF剪开，然后按图中箭头所指方向，分别绕着点E，F旋转180°，将会得到一个什么样的四边形？简述理由．
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| 11. 难度：中等 | |
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如图，在等腰梯形ABCD中，AD=7，BC=15，∠B=60°，EF为中位线．求： （1）EF的长． （2）AB的长． 
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| 12. 难度：中等 | |
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，点F在AC延长上，且CF= AC．求证：四边形ADEF是等腰梯形．
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| 13. 难度：中等 | |
如图，已知点M、N分别是△ABC的边BC、AC的中点，点P是点A关于点M的对称点，点Q是点B关于点N的对称点，求证：P、C、Q三点在同一条直线上．
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| 14. 难度：中等 | |
如图，石头A和石头B相距80cm，且关于竹竿l对称，一只电动青蛙在距竹竿30cm，距石头A为60cm的P1处，按如下顺序循环跳跃： （1）请你画出青蛙跳跃的路径（画图工具不作限制）； （2）青蛙跳跃25次后停下，此时它与石头A（3）相距______cm，与竹竿l相距______cm． |
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| 15. 难度：中等 | |
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如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB． （1）求证：EF∥BD； （2）若AB=7，CD=3，求线段EF的长． 
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| 16. 难度：中等 | |
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已知：线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P． （1）如图1，当OA=OB，且D为OA中点时，求  的值；（2）如图2，当OA=OB，且  时，求tan∠BPC的值．（3）如图3，当AD：AO：OB=1：n：  时，直接写出tan∠BPC的值． |
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| 17. 难度：中等 | |
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如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 
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| 18. 难度：中等 | |
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）． （1）D，F两点间的距离是______； （2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值；若不能，说明理由； （3）当点P运动到折线EF-FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值； （4）连接PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值． 
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| 19. 难度：中等 | |
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如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，顶点D，C分别在AM，BN上运动（点D不与A重合，点C不与B重合），E是AB上的动点（点E不与A，B重合），在运动过程中始终保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a． （1）求证：△ADE∽△BEC； （2）当点E为AB边的中点时（如图2），求证：①AD+BC=CD；②DE，CE分别平分∠ADC，∠BCD； （3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关，若有关请用含m的代数式表示△BEC的周长；若无关请说明理由．  |
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| 20. 难度：中等 | |
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如图，AF⊥CE，垂足为点O，AO=CO=2，EO=FO=1． （1）求证：点F为BC的中点； （2）求四边形BEOF的面积． 
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| 21. 难度：中等 | |
王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的距离都相等．已知梯子最上面一级踏板的长度A1B1=0.5m，最下面一级踏板的长度A8B8=0.8m．木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板．现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由．（不考虑锯缝的损耗）
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