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如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交C...

如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F.AB=4,BC=6,∠B=60度.
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x.
①当点N在线段AD上时(如图2),△PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理由;
②当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理由.
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(1)可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解. (2)①△PMN的形状不会变化,可通过做EG⊥BC于G,不难得出PM=EG,这样就能在三角形BEG中求出EG的值,也就求出了PM的值,如果做PH⊥MN于H,PH是三角形PMH和PHN的公共边,在直角三角形PHM中,有PM的值,∠PMN的度数也不难求出,那么就能求出MH和PH的值,也就求出HN和PN的值了,有了PN,PM,MN的值,就能求出三角形MPN的周长了. ②本题分两种情况进行讨论: 1、N在CD的DF段时,PM=PN.这种情况同①的计算方法. 2、N在CD的CF段时,又分两种情况进行讨论 MP=MN时,MC=MN=MP,这样有了MC的值,x也就能求出来了 NP=NM时,我们不难得出∠PMN=120°,又因为∠MNC=60°因此∠PNM+∠MNC=180度.这样点P与F就重合了,△PMC即这是个直角三角形,然后根据三角函数求出MC的值,然后就能求出x了. 综合上面的分析把△PMC是等腰三角形的情况找出来就行了. 【解析】 (1)如图1,过点E作EG⊥BC于点G. ∵E为AB的中点, ∴BE=AB=2 在Rt△EBG中,∠B=60°,∴∠BEG=30度. ∴BG=BE=1,EG= 即点E到BC的距离为 (2)①当点N在线段AD上运动时,△PMN的形状不发生改变. ∵PM⊥EF,EG⊥EF, ∴PM∥EG,又EF∥BC, ∴四边形EPMG为矩形, ∴EP=GM,PM=EG= 同理MN=AB=4. 如图2,过点P作PH⊥MN于H, ∵MN∥AB, ∴∠NMC=∠B=60°,又∠PMC=90°, ∴∠PMH=∠PMC-∠NMC=30°. ∴PH=PM= ∴MH=PM•cos30°= 则NH=MN-MH=4- 在Rt△PNH中,PN= ∴△PMN的周长=PM+PN+MN= ②当点N在线段DC上运动时,△PMN的形状发生改变,但△MNC恒为等边三角形. 当PM=PN时,如图3,作PR⊥MN于R,则MR=NR. 类似①,PM=,∠PMR=30°, MR=PMcos30°=×=, ∴MN=2MR=3. ∵△MNC是等边三角形, ∴MC=MN=3. 此时,x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2. 当MP=MN时, ∵EG=, ∴MP=MN=, ∵∠B=∠C=60°, ∴△MNC是等边三角形, ∴MC=MN=MP=(如图4), 此时,x=EP=GM=6-1-, 当NP=NM时,如图5,∠NPM=∠PMN=30度. 则∠PNM=120°,又∠MNC=60°, ∴∠PNM+∠MNC=180度. 因此点P与F重合,△PMC为直角三角形. ∴MC=PM•tan30°=1. 此时,x=EP=GM=6-1-1=4. 综上所述,当x=2或4或(5-)时,△PMN为等腰三角形.
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考点分析:
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(1)求cos∠ACB的值;
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(1)如图所示,当直线l⊥AD时(此时点G与点O重合).求证:h2+h3=2h1
(2)将直线l绕点O旋转,使得l与AD不垂直.
①如图所示,当点B、C在直线l的同侧时,猜想(1)中的结论是否成立,请说明你的理由;
②如图所示,当点B、C在直线l的异侧时,猜想h1、h2、h3满足什么关系.(只需写出关系,不要求说明理由)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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