1. 难度:中等 | |
已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(-3m,0)(m≠0). (1)证明4c=3b2; (2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值. |
2. 难度:中等 | |
已知关于x的方程mx2-(3m-1)x+2m-2=0. (1)求证:无论m取任何实数时,方程恒有实数根; (2)若关于x的二次函数y=mx2-(3m-1)x+2m-2的图象与x轴两交点间的距离为2时,求抛物线的解析式; (3)在直角坐标系xoy中,画出(2)中的函数图象,结合图象回答问题:当直线y=x+b与(2)中的函数图象只有两个交点时,求b的取值范围. |
3. 难度:中等 | |
已知点A(1,1)在二次函数y=x2-2ax+b图象上. (1)用含a的代数式表示b; (2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点,求这个二次函数的图象的顶点坐标. |
4. 难度:中等 | |
已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标是(-2,0),点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OC<OB)是方程x2-10x+24=0的两个根. (1)求B、C两点的坐标; (2)求这个二次函数的解析式. |
5. 难度:中等 | |
已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的一个交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为(0,3). (1)求出b,c的值,并写出此二次函数的解析式; (2)根据图象,写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围. |
6. 难度:中等 | |
已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2. (1)求q关于p的关系式; (2)求证:抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点; (3)设抛物线y=x2+px+q的顶点为M,且与x轴相交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,求使△AMB面积最小时的抛物线的解析式. |
7. 难度:中等 | |
(1)用配方法把二次函数y=x2-4x+3变成y=(x-h)2+k的形成. (2)在直角坐标系中画出y=x2-4x+3的图象. (3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函数y=x2-4x+3图象上的两点,且x1<x2<1,请比较y1,y2的大小关系.(直接写结果) (4)把方程x2-4x+3=2的根在函数y=x2-4x+3的图象上表示出来. |
8. 难度:中等 | |
已知二次函数y=x2+ax+a-2. (1)求证:不论a为何实数,此函数图象与x轴总有两个交点; (2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式; (3)若此二次函数图象与x轴交于A、B两点,在函数图象上是否存在点P,使得△PAB的面积为?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由. |
9. 难度:中等 | |
如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点. (1)求A、B、C三点的坐标; (2)证明:△ABC为直角三角形; (3)在抛物线上除C点外,是否还存在另外一个点P,使△ABP是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. |
10. 难度:中等 | |
如图,已知抛物线y=-x2+x+与x轴的两个交点为A、B,与y轴交于点C. (1)求A,B,C三点的坐标; (2)求证:△ABC是直角三角形; (3)若坐标平面内的点M,使得以点M和三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.(直接写出点的坐标,不必写求解过程) |
11. 难度:中等 | |
已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4. (1)探究m满足什么条件时,二次函数y的图象与x轴的交点的个数; (2)设二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0),且x12+x22=5,与y轴的交点为C,它的顶点为M,求直线CM的解析式. |
12. 难度:中等 | |
已知关于x的函数y=ax2+x+1(a为常数) (1)若函数的图象与x轴恰有一个交点,求a的值; (2)若函数的图象是抛物线,且顶点始终在x轴上方,求a的取值范围. |
13. 难度:中等 | |
已知抛物线y=3ax2+2bx+c, (Ⅰ)若a=b=1,c=-1,求该抛物线与x轴公共点的坐标; (Ⅱ)若a=b=1,且当-1<x<1时,抛物线与x轴有公共点,求c的取值范围; (Ⅲ)若a+b+c=0,且x1=0时,对应的y1>0;x2=1时,对应的y2>0,试判断当0<x<1时,抛物线与x轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由. |
14. 难度:中等 | |
已知两个关于x的二次函数y1与y2,y1=a(x-k)2+2(k>0),y1+y2=x2+6x+12;当x=k时,y2=17;且二次函数y2的图象的对称轴是直线x=-1. (1)求k的值; (2)求函数y1,y2的表达式; (3)在同一直角坐标系内,问函数y1的图象与y2的图象是否有交点?请说明理由. |
15. 难度:中等 | |
已知:关于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0). (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1<x2).若y是关于m的函数,且y=x2-2x1,求这个函数的解析式; (3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:当自变量m的取值范围满足什么条件时,y≤2m. |
16. 难度:中等 | |
已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实数根x1,x2,且满足x1>0,x2-x1>1. (1)试证明c>0; (2)证明b2>2(b+2c); (3)对于二次函数y=x2+bx+c,若自变量取值为x,其对应的函数值为y,则当0<x<x1时,试比较y与x1的大小. |
17. 难度:中等 | |||||||||||||||||||||
二次函数y=ax2+bx+c中,自变量x与函数y的对应值如下表:
(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c是常数)的两个根x1,x2的取值范围是下列选项中的哪一个______. ① ② ③ ④. |
18. 难度:中等 | |
已知函数y=x2+2x+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是x1,x2,且x12+x22=c2-2c,求c及x1,x2的值. |
19. 难度:中等 | |
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题: (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根; (2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集; (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围; (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围. |
20. 难度:中等 | |
已知关于x的二次函数y=x2-mx+与y=x2-mx-,这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A,B两个不同的点. (1)试判断哪个二次函数的图象经过A,B两点; (2)若A点坐标为(-1,0),试求B点坐标; (3)在(2)的条件下,对于经过A,B两点的二次函数,当x取何值时,y的值随x值的增大而减小. |
21. 难度:中等 | |
已知抛物线y=-(x-1)2+2的部分图象(如图所示),则图象再次与x轴相交时,交点的坐标是______. |
22. 难度:中等 | |
已知:关于x的二次函数y=-x2+(m+2)x-m. (1)求证:不论m为任何实数,二次函数的图象的顶点P总是在x轴的上方; (2)设二次函数图象与y轴交于A,过点A作x轴的平行线与图象交于另外一点B.若顶点P在第一象限,当m为何值时,△PAB是等边三角形. |
23. 难度:中等 | |
已知y关于x的函数:y=(k-2)x2-2(k-1)x+k+1中满足k≤3. (1)求证:此函数图象与x轴总有交点; (2)当关于z的方程有增根时,求上述函数图象与x轴的交点坐标. |
24. 难度:中等 | |
已知二次函数y=mx2-mx+n的图象交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两点,x1<x2,交y轴的负半轴于C点,且AB=5,AC⊥BC,求此二次函数的解析式. |
25. 难度:中等 | |
已知函数y=x2-4x+1 (1)求函数的最小值; (2)在给定坐标系中,画出函数的图象; (3)设函数图象与x轴的交点为A(x1,0)、B(x2,0),求x12+x22的值. |
26. 难度:中等 | |
如果二次函数y=ax2+2x+c的图象的最高点是M(x,y),并且二次函数图象过点P(1,),若x取x±n(n=1,2,3…)时,相应的函数值为y-n2. (1)求二次函数的解析式并画出图象; (2)若二次函数图象与x轴的交点为A、B,求△PAB的面积. |
27. 难度:中等 | |
已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点M(0,-3),并与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)两点,且x12+x22=10.试求这个二次函数的解析式. |
28. 难度:中等 | |
已知二次函数y=2x2-mx-m2. (1)求证:对于任意实数m,该二次函数图象与x轴总有公共点; (2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A,B,且A点坐标为(1,0),求B点坐标. |
29. 难度:中等 | |
已知:关于x的方程(a+2)x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2,并且抛物线y=x2-(2a+1)x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点(2,0)的两旁. (1)求实数a的取值范围; (2)当|x1|+|x2|=时,求a的值. |
30. 难度:中等 | |
(1)请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象; (2)根据方程的根与函数图象的关系,将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来(描点); (3)观察图象,直接写出方程x2-2x=1的根.(精确到0.1) |