《第23章 一元二次方程》2009年单元综合测试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

方程x（x-3）=5（x-3）的根是    ．

2. 难度：中等

下列方程中，是关于x的一元二次方程的有    ．
（1）2y²+y-1=0；（2）x（2x-1）=2x²；（3）-2x=1；（4）ax²+bx+c=0；（5）x²=0．

3. 难度：中等

把方程（1-2x）（1+2x）=2x²-1化为一元二次方程的一般形式为    ．

4. 难度：中等

如果--8=0，则的值是    ．

5. 难度：中等

关于x的方程（m²-1）x²+（m-1）x+2m-1=0是一元二次方程的条件是    ．

6. 难度：中等

关于x的一元二次方程x²-x-3m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围一定是    ．

7. 难度：中等

x²-5|x|+4=0的所有实数根的和是    ．

8. 难度：中等

方程x⁴-5x²+6=0，设y=x²，则原方程变形    ，原方程的根为    ．

9. 难度：中等

以-1为一根的一元二次方程可为    （写一个即可）．

10. 难度：中等

代数式x²+8x+5的最小值是    ．

二、选择题

11. 难度：中等

若方程（a-b）x²+（b-c）x+（c-a）=0是关于x的一元二次方程，则必有（ ）
A．a=b=c
B．一根为1
C．一根为-1
D．以上都不对

12. 难度：中等

若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．3或-2
B．3
C．-2
D．-3或2

13. 难度：中等

已知（x²+y²+1）（x²+y²+3）=8，则x²+y²的值为（ ）
A．-5或1
B．1
C．5
D．5或-1

14. 难度：中等

已知方程x²+px+q=0的两个根分别是2和-3，则x²-px+q可分解为（ ）
A．（x+2）（x+3）
B．（x-2）（x-3）
C．（x-2）（x+3）
D．（x+2）（x-3）

15. 难度：中等

已知α，β是方程x²+2006x+1=0的两个根，则（1+2008α+α²）（1+2008β+β²）的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

16. 难度：中等

三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x²-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（ ）
A．8
B．8或10
C．10
D．8和10

三、解答题

17. 难度：中等

用适当的方法解方程：
（1）2（x+2）²-8=0；
（2）x（x-3）=x；
（3）x²=6x-；
（4）（x+3）²+3（x+3）-4=0．

18. 难度：中等

如果x²-10x+y²-16y+89=0，求的值．

19. 难度：中等

阅读下面的材料，回答问题：
解方程x⁴-5x²+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-5y+4=0  ①，解得y₁=1，y₂=4．
当y=1时，x²=1，∴x=±1；
当y=4时，x²=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=2，x₄=-2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用______法达到______的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x²+x）²-4（x²+x）-12=0．

20. 难度：中等

如图，是丽水市统计局公布的2000～2003年全社会用电量的折线统计图．
（1）填写统计表：

2000～2003年丽水市全社会用电量统计表
年份	2000	2001	2002	2003
全社会用电量	13.33

（2）根据丽水市2001年至2003年全社会用电量统计数据，求这两年年平均增长的百分率（保留两个有效数字）．

21. 难度：中等

某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．
（1）若商场要求该服装部每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多．

22. 难度：中等

设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程x²+x+c-a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0．
（1）试判断△ABC的形状．
（2）若a，b为方程x²+mx-3m=0的两个根，求m的值．

23. 难度：中等

已知关于x的方程a²x²+（2a-1）x+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．
【解析】
（1）根据题意，得△=（2a-1）²-4a²＞0，解得a＜．
∴当a＜时，方程有两个不相等的实数根．
（2）存在，如果方程的两个实数根x₁，x₂互为相反数，则x₁+x₂=-=0  ①，
解得a=，经检验，a=是方程①的根．
∴当a=时，方程的两个实数根x₁与x₂互为相反数．
上述解答过程是否有错误？如果有，请指出错误之处，并解答．