2013年北京市龙文教育中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

据新华社报道：2010年我国粮食产量将达到540 000 000吨，用科学记数法表示这个粮食产量为（ ）吨
A．54×10⁷
B．5.4×10⁸
C．54×10⁸
D．0.54×10⁹

2. 难度：中等

若一个正多边形的一个内角是144°，则这个多边形的边数为（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9

3. 难度：中等

已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长为（ ）

A．6
B．5
C．4
D．3

4. 难度：中等

如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（ ）

A．2
B．3
C．
D．6

5. 难度：中等

抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．中位数
B．众数
C．平均数
D．极差

7. 难度：中等

由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图所示，则n的最大值是（ ）

A．16
B．18
C．19
D．20

8. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD-DC-CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm²）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

分解因式：3a²-12ab+12b²=    ．

10. 难度：中等

点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）在二次函数y=x²-2x-1的图象上，若x₂＞x₁＞1，则y₁与y₂的大小关系是y₁    y₂．（用“＞”、“＜”、“=”填空）

11. 难度：中等

已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中AB=8，BC=4，BF=6，在顶点E处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF的中心沿长方体表面爬行到点E，则此蚂蚁爬行的最短距离为    ．

12. 难度：中等

如图所示，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．当CQ=CE时，y与x之间的函数关系式是    ； 当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间的函数关系式是    ．

三、解答题

13. 难度：中等

计算：．

14. 难度：中等

解不等式组：．

15. 难度：中等

已知x²+3x-1=0，求代数式的值．

16. 难度：中等

已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在线段AD上，且AF=DE．求证：BE=CF．

17. 难度：中等

某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：

项目 品种	A	B
年亩产（单位：千克）	1200	2000
采摘价格 （单位：元/千克）	60	40

（1）若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为460000元，那么A、B两种草莓各种多少亩？
（2）若要求种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半，那么种植A种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多？

18. 难度：中等

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2，∠ABD=15°，∠C=60°．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求AB的长．

19. 难度：中等

已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，交半圆O于点E，且E为的中点．
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）若AD=6，AE=6，求BC的长．

20. 难度：中等

为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．
（1）本次抽测的男生有______人，抽测成绩的众数是______；
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k₁x+b与反比例函数y=的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．
（1）求k₁，k₂的值；
（2）如图，点D在x轴上，在梯形OBCD中，BC∥OD，OB=DC，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为18时，求PE：PC的值．

22. 难度：中等

阅读下面材料：
问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．

小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．
（1）请你回答：图中BD的长为______

23. 难度：中等

已知，二次函数y=ax²+bx的图象如图所示．
（1）若二次函数的对称轴方程为x=1，求二次函数的解析式；
（2）已知一次函数y=kx+n，点P（m，0）是x轴上的一个动点．若在（1）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=ax²+bx的图象于点N．若只有当1＜m＜时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式；
（3）若一元二次方程ax²+bx+q=0有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出q的最大值．

24. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1． 设CF=kEF，则k=______；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；
（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

25. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．

（1）求此二次函数解析式；
（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK和的最小值．