1999年全国中考数学试题汇编《圆》（06）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

（2003•吉林）关于图形变化的探讨：
（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．
②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C₁、C₂，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC₁=C₂F．
③把直线1继续向上平行移动，使弦C₁C₂与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论______．证明结论成立或说明不成立的理由
（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM²=PC²．
②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论______．证明结论成立或说明不成立的理由：
（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律______．

2. 难度：中等

（1999•重庆）已知：如图，⊙O₂过⊙O₁的圆心O₁且与⊙O₁内切于点P．弦AB切⊙O₂于点C，PA、PB分别与⊙O₂交于D、E两点，延长PC交⊙O₁于点F．
求证：
（1）BC²=BE•BP；
（2）∠1=∠2；
（3）CF²=BE•AP．

3. 难度：中等

（1999•烟台）如图，△ABC是等边三角形，⊙O与BC相切于点C，交CA的延长线于点D，交△ABC的外接圆于点K，直线AK交⊙O于点E，交CB的延长线于点F．
（1）求∠EDC的度数；
（2）如果A是EF的中点，请判断K是否是的中点，并证明你的结论．

4. 难度：中等

（1999•西安）A是⊙O的直径EF上的一点，半径OB⊥EF，BA的延长线与⊙O相交于另一点C，若=．
（1）求∠B的度数；
（2）过C作⊙O的切线CD和OA的延长线交于点D．求证：AC=CD=AD．

5. 难度：中等

（1999•武汉）已知：如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，直线BD切⊙O₁于点B，交⊙O₂于点C、D，直线DA交⊙O₁于点E．
（1）求证：∠BAC=∠ABC+∠D；
（2）求证：AB²=AC•AE．

6. 难度：中等

（1999•上海）已知△ABC中，AC=BC，∠CAB=α（定值），圆O的圆心O在AB上，并分别与AC、BC相切于点P、Q．
（1）求∠POQ的大小（用α表示）；
（2）设D是CA延长线上的一个动点，DE与圆O相切于点M，点E在CB的延长线上，试判断∠DOE的大小是否保持不变，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果AB=m（m为已知数），cosα=，设AD=x，DE=y，求y关于x的函数解析式（要指出函数的定义域）

7. 难度：中等

（1999•青岛）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．
（1）设∠ABC=α，已知关于x的方程2x²-10xcosα+25cosα-12=0有两个相等的实数根，BC=8，求AB的长．
（2）若点C是以A为圆心，以AB为半径的半圆BCF（点B、F除外）上的一个动点，设BC=t，CE=y，利用（1）所求得的AB的长，求y与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
（3）在（2）的基础上，当t为何值时，S_△ABC=．

8. 难度：中等

（1999•青岛）已知：如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，E为垂足，P是CD延长线上的一点，PA交⊙O于F，GF切⊙O于F且与CP交于G，CH切⊙O于C且与AB的延长线交于H，如果GP²=GD•GC，AD平分∠BAP并交HP于M．
求证：（1）AB为⊙O的直径；
（2）MH=MP；
（3）（证明过程中最好用数字表示角）．

9. 难度：中等

（1999•南昌）如图，⊙O′与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，圆心O′的坐标为（1，-1），半径为．
（1）求A，B，C，D四点的坐标；
（2）求经过点D的切线解析式；
（3）问过点A的切线与过点D的切线是否垂直？若垂直，请写出证明过程；若不垂直，试说明理由．

10. 难度：中等

（1999•内江）如图，已知在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，M是垂足，E为MA上的一点，连接C、E两点并延长交⊙O于F，过F作⊙O的切线交BA的延长线于点P．
求证：CE•EF=2PE•EM．

11. 难度：中等

（1999•辽宁）如图，⊙O₁和⊙O₂内切于点A，⊙O₂的弦BC切⊙O₁于D．AD的延长线交⊙O₂于M，连接AB、AC分别交⊙O₁于E、F，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）求证：AB•AC=AD•AM；
（3）若⊙O₁的半径r₁=3，⊙O₂的半径r₂=8，BC是⊙O₂的直径，求AB和AC的长（AB＞AC）．

12. 难度：中等

（1999•湖南）已知：如图，EB是⊙O的直径，且EB=6．在BE的延长线上取点P，使EP=EB．A是EP上一点，过A作⊙O的切线AD，切点为D．过D作DF⊥AB于F，过B作AD的垂线BH，交AD的延长线于H．连接ED和FH．
（1）若AE=2，求AD的长；
（2）当点A在EP上移动（点A不与点E重合）时，
①是否总有？试证明你的结论；
②设ED=x，BH=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

13. 难度：中等

（1999•河南）AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线相交于D，和⊙O相交于E．如果AC平分∠DAB，
（1）求证：∠ADC=90°；
（2）若AB=2r，AD=r，求DE．

14. 难度：中等

（1999•杭州）如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，A、B为切点，AC为弦，BC是直径．若∠P=60°，PB=2cm，求AC．

15. 难度：中等

（1999•哈尔滨）已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和小圆相切于点C，过点C作大圆的弦DE，使DE⊥OA，垂足为F，DE交小圆于另一点G．求证：AF•AO=DC•DG．

16. 难度：中等

（1999•福州）如图，已知⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过点A作⊙O′的切线交⊙O于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O、⊙O′于E、F，EF与AC相交于点P．
（1）求证：PA•PE=PC•PF；
（2）求证：；
（3）当⊙O与⊙O′为等圆时，且PC：CE：EP=3：4：5时，求△PEC与△FAP的面积的比值．

17. 难度：中等

（2008•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．

18. 难度：中等

（2004•日照）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，∠POC=∠PCE．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径；
（3）求sin∠PCA的值．

19. 难度：中等

（1999•海淀区）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上的一点，以O为圆心，以OB为半径作圆，交AC于E、F，交AB于D．若E是的中点，且AE：EF=3：1，FC=4，求∠CBF的正弦值及BC的长．

20. 难度：中等

（2003•甘肃）如图，AB是⊙O直径，CB是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．
求证：DC是⊙O的切线．

21. 难度：中等

（1999•广州）如图，等边△ABC的面积为S，⊙O是它的外接圆，点P是的中点．
（1）试判断过点C所作⊙O的切线与直线AB是否相交，并证明你的结论；
（2）设直线CP与AB相交于点D，过点B作BE⊥CD，垂足为E，证明BE是⊙O的切线，并求△BDE的面积．

22. 难度：中等

（1999•烟台）如图，已知AB为⊙O的弦，以OB为直径作⊙O₁交AB于D，⊙O的弦AE切⊙O₁于点C．
求证：（1）BC²=BE•BD；（2）AC•CE=BE•BD．

23. 难度：中等

（1999•温州）如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD．
（1）求DC的长；
（2）求cosB的值．

24. 难度：中等

（1999•天津）如图，已知AC切⊙O于C点，CP为⊙O的直径，AB切⊙O于D与CP的延长线交于B点，若AC=PC．
求证：（1）BD=2BP；（2）PC=3BP．

25. 难度：中等

（1999•山西）如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E．
（1）求证：AE切⊙O于点D；
（2）若AC=2，且AC、AD的长时关于x的方程x²-kx+4=0的两根，求线段EB的长；
（3）当点O位于线段AB何处时，△ODC恰好是等边三角形？并说明理由．

26. 难度：中等

（1999•南京）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AD=6，AE=6，求DE的长．

27. 难度：中等

（1999•黄冈）如图，圆O是以AB为直径的△ABC的外接圆，D是劣弧的中点，连AD并延长与过C点的切线交于点P，OD与BC相交于E；
（1）求证：OE=AC；
（2）求证：；
（3）当AC=6，AB=10时，求切线PC的长．

28. 难度：中等

（1999•河南）如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1．求证：S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的两个根．

29. 难度：中等

（1999•贵阳）如图，AC切⊙O于点A，AB为⊙O的弦，AB=AC，BC交⊙O于E，⊙O的弦AD∥BC，AO的延长线交BE于F．
求证：（1）四边形ADEC是平行四边形；
（2）EG²=CF•CB．

30. 难度：中等

（1999•广州）如图，PB是⊙O的割线，点A，B是它与⊙O的交点，PO交⊙O于点C，AB=4，PA=6，PC=4，求OC．