Question

（1999•青岛）已知：如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，E为垂足，P是CD延长线上的一点，PA交⊙O于F，GF切⊙O于F且与CP交于G，CH切⊙O于C且与AB的延长线交于H，如果GP²=GD•GC，AD平分∠BAP并交HP于M．
求证：（1）AB为⊙O的直径；
（2）MH=MP；
（3）（证明过程中最好用数字表示角）．

Answer

（1）连接BF，由切割线定理和已知条件可得：GP=GF，则∠1=∠2=∠3，再由弦切角定理得：∠3=∠4，从而推出∠1=∠4，又根据AB⊥CD，推得∠1+∠PAB=90°，证出∠AFB=90°，即AB为⊙O的直径；
（2）连接AC，根据题意证明∠5=∠7，则△ACH≌△ADP，所以AH=AP，又AD平分∠BAP，根据等腰三角形性质：顶角的平分线也是底边的中线得到MH=MP．
（3）可证明△AFD∽△ADP，则，又AP=AH，则AD2=AH•AF，再证明△AED∽△ADB，则，所以AD2=AE•AB，即得AH•AF=AE•AB，再化成比例式．
 证明：（1）连接BF，
∵GF是⊙O切线，GDC是⊙O的割线，∴GF2=GD•GC，
∵GP2=GD•GC，∴∠1=∠2，∠2=∠3，
又FG切⊙O于F，∴∠3=∠4，
∴∠1=∠4，又AB⊥CD于E，∴∠1+∠PAB=90°（2分）
∴∠AFB=90°，
∴AB为⊙O的直径．（3分）

（2）连接AC．
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD．
∴，，∴AC=AD，∠5=∠6
又AD平分∠BAF，∴∠6=∠7，∴∠5=∠7（4分）
∵CH切⊙O于C，∴∠8=∠9，∴∠ACH=∠ADP，
∴△ACH≌△ADP（5分）
∴AH=AP，又AD平分∠BAP，
∴MH=MP．（6分）

（3）连接DF、DB，
∵∠1=∠4，∠4=∠10，∴∠1=∠10，（7分）
∴△AFD∽△ADP，∴，
∵AP=AH，
∴AD2=AH•AF．（8分）
又AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
又AB⊥CD于E，
∴△AED∽△ADB，∴，
∴AD2=AE•AB．（9分）
又AD2=AH•AF，∴AE•AB=AH•AF，
∴．（10分）