2009年北京市石景山区中考数学一模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（2009•包头）27的立方根是（ ）
A．3
B．-3
C．9
D．-9

2. 难度：中等

（2011•红桥区一模）北京奥组委和国际奥委会在新闻发布上说：“中国有8亿4千万（840 000 000）人观看了奥运会开幕式，这确实是一个令人惊讶的数字．”840 000 000这个数字用科学记数法可表示为（ ）
A．0.84×10⁹
B．8.4×10⁹
C．84×10⁷
D．8.4×10⁸

3. 难度：中等

（2004•朝阳区）两圆的半径分别为3和4，圆心距为6，这两个圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相离
C．外切
D．内切

4. 难度：中等

（2006•温州）在一个暗箱里装有3个红球、5个黄球和7个绿球，它们除颜色外都相同．搅拌均匀后，从中任意摸出一个球是红球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

（2006•杭州）要使式子有意义，字母x的取值必须满足（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

（2000•昆明）某校初三（1）班一组女生体重数据统计表如下：该组女生体重的平均数，众数，中位数分别是（ ）

体重（千克）	40	42	44	46	51
人数（人）	1		3	2	1

A．45，44，44
B．45，3，2
C．45，3，44
D．45，44，46

7. 难度：中等

（2009•石景山区一模）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=2AD，CD=10，，则BC边上的高AE的长为（ ）

A．4.5
B．6
C．8
D．9

8. 难度：中等

（2013•密云县二模）若正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，则把每个小格的顶点叫做格点．现有一个表面积为12的正方体，沿着一些棱将它剪开，展成以格点为顶点的平面图形，下列四个图形中，能满足题意的是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

（2003•福州）分解因式：ax²+2ax+a=    ．

10. 难度：中等

（2009•石景山区一模）若关于x的方程2x²-ax+a-2=0有两个相等的实根，则a的值是    ．

11. 难度：中等

（2009•红桥区二模）三角形纸片ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图），则∠1+∠2的度数为    度．

12. 难度：中等

（2012•红桥区二模）将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积之比A₁：A₂等于    ．

三、解答题

13. 难度：中等

（2008•天门）计算：-2²-+|1-4sin60°|+（π-）．

14. 难度：中等

（2013•房山区二模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

15. 难度：中等

（2007•淄博）解方程：

16. 难度：中等

（2004•朝阳区）已知：如图，在菱形ABCD中，分别延长AB、AD到E、F，使得BE=DF，连接EC、FC．
求证：EC=FC．

17. 难度：中等

（2009•石景山区一模）已知x²+x-6=0，求代数式x²（x+1）-x（x²-1）-7的值．

18. 难度：中等

（2004•上海）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8．
（1）求BE的长；
（2）求∠CDE的正切值．

19. 难度：中等

（2007•北京）已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC，AC=OB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．

20. 难度：中等

（2009•石景山区一模）在我国，除夕之夜，全家一起看春节联欢晚会是人们传统的娱乐活动，尤其是小品类节目为我们带来了很多的欢乐．为了统计观众对2009年春晚小品类节目的喜好，中央电视台在网上进行了“2009年春晚我最喜爱的小品”调查问卷，并将统计结果绘制成两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（1）求参加调查的观众喜欢小品《暖冬》的人数占总投票人数的百分比；
（2）求参加调查的观众喜欢小品《黄豆黄》的人数并补全条形图；
（3）若北京市共有1200万人收看了春晚节目，请你估算北京市喜欢小品《不差钱》的观众约有多少人？

（说明：A：《吉祥三宝》；B：《黄豆黄》；C：《水下除夕夜》；D：《北京欢迎你》；E：《暖冬》；F：《不差钱》）

21. 难度：中等

（2009•石景山区一模）已知：如图，直角三角形AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为线段OA上一点，OC=OB，抛物线y=x²-（m+1）x+m（m是常数，且m＞1）经过A、C两点．
（1）求出A、B两点的坐标（可用含m的代数式表示）；
（2）若△AOB的面积为2，求m的值．

22. 难度：中等

（2011•浙江二模）在数学小组活动中，小聪同学出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒跳棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P₁处有一粒跳棋子，P₁距A点b厘米、与直线l的距离c厘米，按以下程序起跳：第1次，从P₁点以A为对称中心跳至P₂点；第2次，从P₂点以l为对称轴跳至P₃点；第3次，从P₃点以B为对称中心跳至P₄点；第4次，从P₄点以l为对称轴跳至P₁点．
（1）画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母（画图工具不限）；
（2）棋子按上述程序跳跃15次后停下，假设a=8，b=6，c=3，计算这时它与点A的距离．

23. 难度：中等

（2009•石景山区一模）两个反比例函数和（k₁＞k₂＞0）在第一象限内的图象如图所示，动点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B．
（1）求证：四边形PAOB的面积是定值；
（2）当时，求的值；
（3）若点P的坐标为（5，2），△OAB、△ABP的面积分别记为S_△OAB′S_△ABP．设S=S_△OAB-S_△ABP′
①求k₁的值；
②当k₂为何值时，S有最大值，最大值为多少？

24. 难度：中等

（2005•南京）如图，已知半圆O的直径DE=12cm，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．
（1）当t为何值时，△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切？
（2）当△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切时，如果半圆O与直线DE围成的区域与△ABC三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积．

25. 难度：中等

（2009•石景山区一模）已知：如图1，射线AM∥射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中始终保持DE⊥EC，且AD+DE=AB=a．
（1）求证：△ADE∽△BEC；
（2）如图2，当点E为AB边的中点时，求证：AD+BC=CD；
（3）设AE=m，请探究：△BEC的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m的代数式表示△BEC的周长；若无关，请说明理由．