已知函数，当时，函数取得极大值.

（１）求实数的值；

（２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；

（３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.

在直角坐标系中，动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点的轨迹为，是动圆上一点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设曲线上的三点与点的距离成等差数列，若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率；

（3）若直线与和动圆均只有一个公共点，求、两点的距离的最大值.

在中，三个内角，，的对边分别为，，，其中， 且

 (1)求证：是直角三角形；

(2)如图6，设圆过三点，点位于劣弧上，求面积最大值.

如图5(1)中矩形中，已知，, 分别为和的中点，对角线与交于点，沿把矩形折起，使平面与平面所成角为，如图5(2).

（1）   求证：；

（2）   求与平面所成角的正弦值.

有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为.

（１）求的概率；

（２）求的分布列和数学期望.

已知等比数列的前项和为， ，且，，成等差数列.

（1）求数列通项公式；

（2）设，求数列前项和．

(坐标系与参数方程选做题)已知直线方程是为参数），,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则圆上的点到直线的距离最小值是                    

（几何证明选讲选做题）

如图，是圆的直径，，,则            ;

设，若不等式对任意实数恒成立，则取值集合是_______________________.

已知满足约束条件，则的最小值是_________.