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（2010•龙岩质检）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC=1，AD=x，△BDE的面积为S． （1）当α=30°时，求x的值． （2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=  时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．
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（2010•襄阳）如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA． （1）证明：直线PB是⊙O的切线； （2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明； （3）求sin∠OPA的值． 
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（2011•呼伦贝尔）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A、C，与y轴相交于点B，A（ ），且△AOB∽△BOC．（1）求C点坐标、∠ABC的度数及二次函数y=ax2+bx+3的关系式； （2）在线段AC上是否存在点M（m，0）．使得以线段BM为直径的圆与边BC交于P点（与点B不同），且以点P、C、O为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 
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（2010•抚顺）如图所示， （1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF=90°，连接BE、DF．将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图（1）给予证明； （2）将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB，AF=kAE，其他条件不变．（1）中的结论是否发生变化？结合图（2）说明理由； （3）将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=a，其他条件不变．（2）中的结论是否发生变化？结合图（3），如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用a表示出直线BE、DF形成的锐角β．  |
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（2010•河北）在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°． （1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系； （2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD； （3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求  的值． |
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（2010•呼和浩特）如图，等边△ABC的边长为12cm，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=4cm，若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O． （1）设△EGA的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变？若不变，求其值；若改变，请说明理由； （3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点． 
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（2010•锦州）如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD=4，AB=6，BC=8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点C与点G重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为S． （1）求正方形的边长； （2）设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式； （3）当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半？若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由． 
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（2010•荆门）如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B重合），过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点． （1）求证：AC•CD=PC•BC； （2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长； （3）当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S． 
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（2010•南充）如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E． （1）求证：△ABD∽△CED． （2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长． 
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（2010•宁波）如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，▱ABCD的顶点A的坐标为（-2，0），点D的坐标为（0，2 ），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G．（1）求∠DCB的度数； （2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H． ①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE； ②若△EHG的面积为3  ，请直接写出点F的坐标． |
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