设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0． （Ⅰ）求f（x）的...

（Ⅰ）由f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0，知函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且，由f′（x）=0，得x=．列表讨论，能求出f（x）的单调区间． （Ⅱ）设∅（x）=ln（x+1）-，x∈[0，+∞），则∅′（x）==．由此能够证明． （Ⅲ）由（Ⅰ）知，，将代入，得，由此能够证明-． （Ⅰ）【解析】 ∵f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），其中a＞0， ∴函数f（x）的定义域为（-1，+∞），且， 由f′（x）=0，得x=． 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：  x  （-1，）    （，+∞）  f′（x） -  0 +  f（x） ↓  极小值 ↑ 由上表知，当x∈（-1，）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-1，）内单调递减； 当x∈（）时，f′（x）＞0，函数f（x）在（）内单调递增． ∴函数f（x）的增区间是（），减区间是（-1，）． （Ⅱ）证明：设∅（x）=ln（x+1）-，x∈[0，+∞）， 对∅（x）求导，得∅′（x）==． 当x≥0时，∅′（x）≥0，所以∅（x）在[0，+∞）内是增函数． ∴∅（x）＞∅（0）=0，即ln（x+1）-＞0， ∴． 同理可证ln（x+1）＜x， ∴． （Ⅲ）由（Ⅰ）知，， 将代入， 得， 即1， ∴， 故-．