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满分5
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高中数学试题
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已知函数, (1)讨论函数的奇偶性; (2)证明:f(x)>0.
已知函数
,
(1)讨论函数的奇偶性;
(2)证明:f(x)>0.
(1)由2x-1≠0解得义域为{x|x≠0},关于原点对称.f(-x)=()(-x)=()x=f(x),故该函数为偶函数. (2)任取x∈{x|x≠0},当x>0时,2x>2=1且x>0,故,从而.当x<0时,-x>0,故f(-x)>0,由函数为偶函数,能证明f(x)>0在定义域上恒成立. 【解析】 (1)该函数为偶函数. 由2x-1≠0解得x≠0即义域为{x|x≠0}关于原点对称…(2分) f(-x)=()(-x)=-(+)x =()x=()x=()x=f(x)(6分) 故该函数为偶函数. …(7分) (2)证明:任取x∈{x|x≠0} 当x>0时,2x>2=1且x>0, ∴2x-1>0, 故 从而…(11分) 当x<0时,-x>0, ∴f(-x)>0,…(12分) 又因为函数为偶函数, ∴f(x)=f(-x)>0,…(13分) ∴f(x)>0在定义域上恒成立.…(14分)
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考点分析:
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2
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