（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）...

（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有 manfen5.com 满分网

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（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式： manfen5.com 满分网

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（1）令x=y=0 可求得f（0）=0；令y=-x代入可判断f（x）的奇偶；（2）设-1＜x1＜x2＜1，利用f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=，分析判断出-1＜＜0，再结合条件即可证明结论；（3）利用（1）f（x）为奇函数与（2）f（x）在（-1，1）上是单调递减函数将转化为，脱掉f，化为不等式组解之即可．【解析】（1）f（x）为奇函数．令x=y=0，代入有， 2f（0）=f（0），f（0）=0；令y=-x，代入得： f（x）+f（-x）=f（0）=0，（xy≠-1，由定义域易知其满足） ∴f（x）=-f（-x），得证．（2）设-1＜x1＜x2＜1， f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=，由题设知，必有-1＜＜1 又x1-x2＜0，由x1，x2∈（-1，1），可得-x1•x2∈（-1，1），所以1-x1•x2＞0，所以-1＜＜0，又x∈（-1，0）时f（x）＞0， ∴f（x1）-f（x2）=＞0 ∴f（x1）＞f（x2）即f（x）在（-1，1）上是减函数；（3）∵，f（x）为奇函数， ∴，函数y=f（x）定义在（-1，1）上，f（x）在（-1，1）上是单调递减函数， ∴解得： ∴不等式的解集为：{x|}．

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考点分析：

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对于函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2（a≠0），若存在实数x，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．
（1）当a=2，b=-2时，求f（x）的不动点．
（2）若对于任何实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．

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已知函数

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（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明：
（3）若f（m）=-3，求f（-m）．

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已知函数f（x）=x²-bx+3，且f（0）=f（4）．
（1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合；
（2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域．

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已知指数函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）自变量与函数值的部分对应值如下表：

x	-1		2
f（x）	2	1	0.25

则a= ；若函数y=x[f（x）-2]，则满足条件y＞0的x的集合为．查看答案

定义在（-1，1）上的奇函数f（x）是增函数，且f（a）+f（2a²-1）＜0，则a的取值范围为．查看答案

试题属性

题型：解答题
难度：中等