设 x=0是函数f（x）=（x2+ax+b）ex（x∈R）的一个极值点．（1）...

设 x=0是函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一个极值点．
（1）求 a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（2）设 a＞0，g（x）=-（a²-a+1）e^x+2，问是否存在ξ₁，ξ₂∈[-2，2]，使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|≤1成立？若存在，求 a的取值范围；若不存在，说明理由．

（1）先求出其导函数，把x=0直接代入导函数即可求出a与b的关系式b=-a；再求出其导函数f'（x）=[x2+（a+2）x]ex=x（x+a+2）ex，以及导数为0的根0和-a-2，讨论两根的大小即可求出f（x）的单调区间；（2）先由 a＞0求出f（x）与g（x）在[-2，2]上的单调性以及值域，再利用在[-2，2]上，fmin（x）-gmax（x）=-a+（a2-a+1）=（a-1）2≥0，即可得a所满足的不等式，解不等式即可求a的取值范围．【解析】（1）f'（x）=[x2+（a+2）x+a+b]ex（2分）由f'（0）=0，得b=-a（4分） ∴f（x）=（x2+ax-a）ex f'（x）=[x2+（a+2）x]ex=x（x+a+2）ex．令f'（x）=0，得x1=0，x2=-a-2 由于x=0是f（x）极值点，故x1≠x2，即a≠-2 当a＜-2时，x1＜x2，故f（x）的单调增区间是（-∞，0]和[-a-2，+∞），单调减区间是[0，-a-2]（6分）当a＞-2时，x1＞x2，故f（x）的单调增区间是（-∞，-a-2]和[0，+∞），单调减区间是[-a-2，0]（8分）（2）当a＞0时，-a-2＜-2，f（x）在[-2，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，因此f（x）在[-2，2]上的值域为[f（0），max[f（-2），f（2）]]=[-a，（4+a）e2]（10分）上单调递减，所以值域是[-（a2-a+1）]e4，-（a2-a+1）]（12分）因为在[-2，2]上，fmin（x）-gmax（x）=-a+（a2-a+1）=（a-1）2≥0（13分）所以，a只须满足，解得0＜a≤2 即当a∈（0，2]时，存在ξ1、ξ2∈[-2，2]使得|f（ξ1）-g（ξ2）|≤1成立．（14分）

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考点分析：

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