如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成...

如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．
①如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？
②如图3所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′=15°，试求AA′的长．

（1）直角三角形中已知斜边和一个角，那么两条直角边就容易求得了．（2）①可先设出AC，BD的长，然后表示出OC，OD的长，根据滑动前后梯子长不变的特点在直角三角形WMC中运用勾股定理求出未知数的值，然后求出AC，BD的长． ②可根据直角三角形斜边中线定理，和已知的∠ABO的度数，来求出∠B′A′O的度数，然后求出OA′的长，从而求出AA′的长．【解析】（1）BO=AB•cos60°=4×=2（m） AO=AB•sin60°=4×=2（m）答：BO=2m；AO=2m．（2）①设AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2-2x，OD=2+3x，CD=4m．根据勾股定理有OC2+OD2=CD2． ∴（2-2x）2+（2+3x）2=42． ∴13x2+（12-8）x=0． ∵x≠0， ∴13x+12-8=0， ∴x=m． ∴AC=2x=m．答：梯子顶端A沿NO下滑了m． ②∵P点和P′点分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点． ∴PA=PO，P′A′=P′O． ∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′． ∴∠P′A′O-∠PAO=∠A′OP′-∠AOP． ∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．又∵∠PAO=30°． ∴∠P′A′O=45°． ∴A′O=A′B′•cos45°=4×=2（m）． ∴AA′=AO-A′O=（2-2）m．

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考点分析：

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如图，抛物线y=ax²-8ax+12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．