Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆：的右焦点，且离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线过点且与椭圆相交于、两点，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据焦点坐标得，再根据离心率，计算即可得解；

（2）讨论直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，求出点和点的坐标，从而求出的值；当斜率存在时，设直线方程代入椭圆方程，整理成一元二次方程的形式，判别式求出，再利用韦达定理，表示出，再根据求出的范围即可.

（1）由题可得：，∵，∴，

由，得，

则：椭圆的方程：.

（2）当直线斜率不存在时：

直线：代入得，，∴，

当直线斜率存在时：

设：代入，

整理得，，

，解得，

设，，∴，

∴

，

∵，∴，∴，

综上，的取值范围是.