Question

已知函数．

讨论函数的单调性；

若函数存在两个极值点，，且，证明：

Answer

(1)详见解析(2)详见解析

【解析】

（1）求得函数的导数，令，利用二次函数的性质，对判别式及其a分类讨论，即可得出单调性．

函数存在两个极值点，，且，，又由，令，，利用导数研究其单调性和最值，即可得出证明．

由题意，可求得函数的导数．

令，．

时，解得，则，此时函数在单调递增．

时，解得，则，解得，．

．

时，，此时函数在内单调递增，

在单调递减，在内单调递增．

时，，此时函数在内单调递减，在内单调递增．

证明：函数存在两个极值点，，且，．

令，，则．

令，，

可得时，取得最小值，，

，函数在单调递增．

，，即