Question

如图1，四边形中， ， ，将四边形沿着折叠，得到图2所示的三棱锥，其中．

（1）证明：平面平面；

（2）若为中点，求二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.

【解析】试题分析: (1)由面面垂直的判定定理得出证明; (2)以E为原点,建立空间直角坐标系,写出各点坐标,设 ,由,求出 ,求出平面 的一个法向量,由已知条件找出平面 的一个法向量,利用公式求出二面角的余弦值.

试题解析:（Ⅰ）因为且，可得为等腰直角三角形，

则，又，且平面， ，

故平面，又平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）以为原点，以的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

过点作平面的垂线，垂足为，根据对称性，显然点在轴上，设.由题设条件可得下列坐标： ， ， ， ， ， .， ，由于，所以，解得，则点坐标为. 由于， ，设平面的法向量，

由及得

令，由此可得.

由于， ，则为平面的一个法向量，

则，

因为二面角为锐角，

则二面角的余弦值为.