Question

如图，三棱柱中，侧面为菱形，.

（1）证明: ；

（2）若,求三棱锥的体积.

Answer

(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：(1证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的寻找与论证往往需要结合平几条件，如利用菱形对角线相互垂直，以及等腰三角形底面上的中线垂直于底面， (2) 求二面角的大小，一般方法为利用空间向量数量积进行求解，即先根据条件建立恰当的空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求各面的法向量，再根据向量数量积求两法向量的夹角 最后根据二面角与法向量夹角的关系求二面角的正弦值.

试题解析：(1) 证明: 连接，交于点,连接.因为侧面为菱形，所以，且为和的中点. 因为，所以，又,所以平面.由于平面，故.

(2) 因为，所以，又为的中点，所以.又因为，所以

,故，从而两两互相垂直. 以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，所以为等边三角形，又因为，所以,,

设是平面的法向量，则，即,所以可取.

同理，设是平面的法向量，则.可取，

则,所以.