Question

已知圆：.

⑴若圆的切线在轴和上的截距相等，求此切线的方程；

⑵从圆外一点向该圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点的坐标.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）当截距不为时，根据圆的切线在轴和轴的截距相等，设出切线方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离，让等于圆的半径，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，得到切线的方程；当截距为时，设出切线方程为，同理列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，得到切线的方程；（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形为直角三角形，根据勾股定理表示出点的轨迹方程，由轨迹方程得到动点的轨迹为一条直线，所以的最小值就是的最小值，求出原点到轨迹方程的距离即为的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出到的距离，把代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时的坐标．

试题解析：⑴将圆配方得(＋1)2＋(－2)2＝2.

①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为＝k，由直线与圆相切得

，即＝2±，从而切线方程为＝(2±).

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为＋－a＝0，

由直线与圆相切得＋＋1＝0，或＋－3＝0.

∴所求切线的方程为＝(2±)，＋＋1＝0或＋－3＝0

⑵由|PO|＝|PM|得，

即点P在直线l：2－4＋3＝0上，取最小值时即取得最小值，直线⊥l，

∴直线的方程为2＋＝0.

解方程组得点坐标为.

考点：直线与圆的位置关系.