Question

已知圆Cx²+y²+2x﹣4y+3=0

（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；

（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．

Answer

（1）x+y+1=0或x+y﹣3=0；（2）直线方程为x=0，

【解析】

试题分析：（1）已知切线不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出变量即可求直线l的方程；

（2）利用斜率存在与不存在两种形式设出直线方程，通过圆心到直线的距离、半径半弦长满足勾股定理，求出经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．

【解析】
（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x+y+c=0…1分

圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0

圆心C（﹣1，2）半径为，

圆心到切线的距离等于圆半径：，…3分

解得c=1或c=﹣3…4分

∴l或δ=1…5分

所求切线方程为：x+y+1=0或x+y﹣3=0…6分

（2）当直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时，交点坐标为（0，1），（0，3），线段长为2，符合

故直线x=0…8分

当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx，即kx﹣y=0

由已知得，圆心到直线的距离为1，…9分

则，…11分

直线方程为

综上，直线方程为x=0，…12分．

考点：直线与圆的位置关系；直线的截距式方程．