Question

已知直线l：x=4与x轴相交于点M，动点P满足PM⊥PO（O是坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试在直线l上确定一点D（异于M点），过点D作曲线C的切线，使得切点E恰为切线与x轴的交点F与点D的中点．

Answer

（1）依题意，M（4，0），设P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得，即可得动点P的轨迹C的方程；
（2）因为DE、DM都是圆（x-2）2+y2=4的切线，所以DE=DM，根据E点位DF的中点，可求得CF=4，FM=6，进而可得DM=2，故可得D的坐标．
【解析】
（1）依题意，M（4，0）…（1分）
设P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得，即x（x-4）+y2=0…（4分）
整理得：动点P的轨迹C的方程为（x-2）2+y2=4（x≠0且x≠4）…（6分）
（2）因为DE、DM都是圆（x-2）2+y2=4的切线，所以DE=DM…（9分）
因为E点是DF的中点，所以DF=2DE=2DM，所以∠DFN=…（11分）
设C（2，0），在△CEF中，∠CEF=，∠CFE=，CE=2，
所以CF=4，FM=6…（13分）
从而DM=2，故D（4，±2）…（15分）