Question

已知一个数列{a_n}的各项是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有f（k）个2，记数列的前n项的和为S_n．
（1）若f（k）=2^k-1，求S₁₀₀；
（2）若f（k）=2k-1，求S₂₀₁₁．

Answer

（1）由f（k）=2k-1，可确定数列为1，2，1，2，2，1，2，2，2，1…，分组：第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则，并确定所加的项的规律，结合数列的求和公式可求和，
（2）由f（k）=2k-1，可确定数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…，分组：第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则bk=2k，同理可求
【解析】
（1）若f（k）=2k-1，则数列为1，2，1，2，2，1，2，2，2，1…
记第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则…（2分）
又当k=6时，b1+b2+…+b6=2+3+5+9+17+33=69＜100
但当k=6时，b1+b2+…+b7=2+3+5+9+17+33+65=134＞100…（5分）
所以前100项中由前6组以及第7组的部分元素构成，故有7个1和93个2，
从而S100=7+93×2=193…（7分）
（2）若f（k）=2k-1，则数列为1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1…
记第k个1与其后面的k个2组成第k组，其组内元素个数记为bk，则bk=2k…（11分）
令b1+b2+…+bn=2+4+…+2n=n（n+1）＜2011，
而44×45=1980＜2011，45×46=2070＞2011
故n=44，即前2011项中有45个以及1966个2，所以S2011=45+1966×2=3977…（14分）