Question

已知：的二项展开式前三项的二项式系数和等于79．
（1）求展开式的二项式系数之和与系数之和；
（2）求展开式中系数最大的项．

Answer

（1）根据题意，由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程Cn+Cn1+Cn2=79，解可得n的值，由二项式系数的性质可得其展开式二项式系数之和，在（+2x）12中，令x=1可得其展开式的系数之和；
（2）根据题意，假设Tk+1项的系数最大，Tk+1项的系数为rk，则有，代入数据，解可得k=10，即展开式中系数最大的项为T11，计算可得T11的值，即可得答案．
【解析】
（1）根据题意，的二项展开式的通项为Tr+1=2r•Cnr•（）n-r•xr，
由其二项展开式前三项的二项式系数和等于79，则Cn+Cn1+Cn2=79，
即1+n+=79，
又由n∈N，
解可得n=12，
则其展开式二项式系数之和为212=4096，
令x=1，可得（+2）12=（）12，即其展开式的系数之和（）12，
（2）设Tk+1项的系数最大．
∵（+2x）12=（）12（1+4x）12，
∴
∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展开式中系数最大的项为T11．
T11=（）12C1210410x10=16896x10．
故其展开式中系数最大的项16896x10．