Question

已知直线l₁：（1+λ）x+y+2λ+1=0（λ∈R），直线l₂过点A（-3，2），B（-1，3）．
（1）若l₁⊥l₂，求直线l₁的方程；
（2）若直线l₁和线段AB有交点，求λ的取值范围．

Answer

（1）先根据经过两点的直线的斜率公式，计算出直线l2的斜率，再根据l1⊥l2，垂直直线的斜率之积等于-1，得到直线l1的斜率，从而求出λ的值，得到直线l1的方程；
（2）化简直线l1的方程为：λ（x+2）+（x+y+1）=0，得到直线l1恒过定点P（-2，1），再分别求出PA、PB的斜率，根据直线l1和线段AB有交点，通过观察直线l1的倾斜角的变化，得到直线l1的斜率的取值范围，最终得到实数λ的取值范围．
【解析】
（1）直线l2的斜率为，
∵l1⊥l2，
所以直线l1的斜率为k1=-2⇒-（1+λ）=-2⇒λ=1
故直线l1的方程是：2x+y+3=0；
（2）由题意得，直线l1：（1+λ）x+y+2λ+1=0（λ∈R），即λ（x+2）+（x+y+1）=0，
因此直线l1恒过定点P（-2，1），
∵PA的斜率为，
PB的斜率为，
且直线l1和线段AB有交点，
∴直线l1的斜率在小于或等于-1，或大于或等于的范围内
即-（1+λ）≤-1或-（1+λ）≥2
解之得λ≥0或λ≤-3．