Question

如图，四面体中，、分别是、的中点，

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求异面直线与所成角余弦值的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

Answer

（Ⅰ）略；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）中主要利用线线垂直可证线面垂直；（Ⅱ）中通过作平行线转化到三角形内解角；当然也可建系利用空间向量来解；（Ⅲ）中利用等体积法可求，亦可用空间向量来解.

试题解析：（Ⅰ）证明：连结OC

在中，由已知可得    而

       即

           平面      4分

（Ⅱ）【解析】
取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC

直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

在中，

是直角斜边AC上的中线，

        8分

（Ⅲ）【解析】
设点E到平面ACD的距离为确规定

在中，

而

点E到平面ACD的距离为      12分

方法二：（Ⅰ）同方法一.

（Ⅱ）【解析】
以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则        

异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（Ⅲ）【解析】
设平面ACD的法向量为则

令得是平面ACD的一个法向量，   又

点E到平面ACD的距离      

考点：立体几何线面垂直的证明；异面直线所成的角；点到平面的距离.