Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆 

（Ⅰ）若线段是圆的直径，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若圆的圆心在直线上，求椭圆的方程;

（Ⅲ）若直线交（Ⅱ）中椭圆于，交轴于，求的最大值 

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用直径所对的圆周角是直角建立参数的关系，然后求之；（Ⅱ）利用圆心在直线上寻找参数的关系，然后求之；（Ⅲ）直线与椭圆的相交问题采用设而不求的思路，利用坐标表示出的表达式，然后使用基本不等式求解

试题解析：（Ⅰ）由椭圆的方程知，点，，设F的坐标为，

是的直径，，       2分

解得，椭圆离心率     4分

（Ⅱ）过点三点，

圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，

FC的垂直平分线方程为           ①

的中点为，的垂直平分线方程为  ②

由①②得，即          7分

在直线上，,。

由得，椭圆的方程为          9分

（Ⅲ）由得               （*）

设，则

        11分

          13分

当且仅当,时取等号。此时方程（*）中的Δ>0,

的最大值为1        13分

考点：直线与椭圆的位置关系