Question

如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C=75°，CD=，求⊙O的半径和BF的长

Answer

（1）△ABC是等腰三角形，理由见解析；

（2）⊙O的半径为2，BF=﹣2 .

【解析】分析：（1）连接OE，根据切线性质得OE⊥DE，与已知中的ED⊥AC得平行，由此得∠1=∠C，再根据同圆的半径相等得∠1=∠B，可得出三角形为等腰三角形；

（2）通过作辅助线构建矩形OGDE，再设与半径有关系的边OG=x，通过AB=AC列等量关系式，可求得结论．

本题解析：

【解析】
（1）△ABC是等腰三角形，理由是：

如图1，连接OE，

∵DE是⊙O的切线，

∴OE⊥DE，∵ED⊥AC，∴AC∥OE，∴∠1=∠C，∵OB=OE，∴∠1=∠B，

∴∠B=∠C，∴△ABC是等腰三角形；

（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠B=∠C=75°，

∴∠A=180°﹣75°﹣75°=30°，

设OG=x，则OA=OB=OE=2x，AG=x，

∴DG=0E=2x，

根据AC=AB得：4x=x+2x+2-， x=1，∴0E=OB=2，

在直角△OEF中，∠EOF=∠A=30°，

cos30=，OF= =，

∴BF=﹣2，⊙O的半径为2．