Question

2005年10月，继杨利伟之后，航天员费俊龙、聂海胜又遨游了太空，这大大激发了王红庭同学爱好天文学的热情．他通过上网查阅资料了解到，金星和地球的运行轨道可以近似地看作是以太阳为圆心的同心圆，且这两个同心圆在同一平面上（如图所示），由于金星和地球的运转速度不同，所以两者的位置不断发生变化，当金星、地球距离最近试，此时叫“下合”；当金星、地球距离最远时，此时叫“上合”；在地球上观察金星的视线恰好与金星轨道相切时，此时分别叫“东大距”和“西大距”，已知地球与太阳相距约为15（千万km），金星与太阳相距约10（千万km），分别求“下合”、“东大距”、“西大距”、“上合”时，金星、地球的距离（可用根号表示）．
（注：在地球上观察金星，当金星分别在太阳的左、右两侧且视线恰好在与金星轨道相切的位置时，分别叫做西大距、东大距）

Answer

当金星、地球处于“下合”“上合”时，金星分别位于B点、E点；过A作小圆O的切线AC、AD，点C、点D为切点．
当金星、地球处于“东大距”“西大距”时，金星分别在D点、C点，根据地球与太阳的距离和金星与太阳的距离，可将AB和AE的长直接求出；连接OC，根据勾股定理可将AC和AD的长求出．
【解析】
如图，设太阳所在地为0点，地球所在地为A点，连接AO并延长分别交小圆O于B点、E点．
依题意知，当金星、地球处于“下合”“上合”时，金星分别位于B点、E点．又过A作小圆O的切线AC、AD，点C、点D为切点．当金星、地球处于“东大距”“西大距”时，金星分别在D点、C点．
由题意，知A、B、0、E在同一直线上．
则下合时：AB=OA-OB=5（千万km），
上合时：AE=OA+OE=25（千万km）．
连接OC；
∵AC切⊙O于点C，
∴OC⊥AC．
∴西大距时：AC==5（千万km）．
由对称性知东大距时：AD=5（千万km）．
综上得“下合”“东大距”“西大距”“上合”时金、地距离分别为：5（千万km）、5（千万km）、5（千万km）、25（千万km）．