Question

如图①，直线AM⊥AN，⊙O分别与AM、AN相切于B、C两点，连接OC、BC，则有∠ACB=∠OCB；（请思考：为什么？）如果测得AB=a，则可知⊙O的半径r=a．（请思考：为什么？）
（1）将图①中直线AN向右平移，与⊙O相交于C₁、C₂两点，⊙O与AM的切点仍记为B，如图②．请你写出与平移前相应的结论，并将图②补充完整；判断此结论是否成立，且说明理由．
（2）在图②中，若只测得AB=a，能否求出⊙O的半径r？若能求出，请你用a表示r；若不能求出，请补充一个条件（补充条件时不能添加辅助线，若补充线段请用b表示，若补充角请用α表示），并用a和补充的条件表示r．

Answer

（1）平移后点C变成两个点，所以只要把结论中的C换成C1、C2即可；
（2）移动前，半径OB等于AC，而AC的长等于AB，移动后半径等于点A到线C1C2的中点的长而C1C2不确定，所以不能．可以补充AC1的长，先根据切线长定理求出C1C2．
【解析】
（1）图②中相应结论为∠AC1B=∠OC1B和∠AC2B=∠OC2B．（2分）
先证∠AC1B=∠OC1B．
连接OB、OC1，
∵AM与⊙O相切于B，
∴OB⊥AM；
∵AN⊥AM，
∴OB∥AN，
∴∠AC1B=∠OBC1；
∵OB=OC1，
∴∠OBC1=∠OC1B，
∴∠AC1B=∠OC1B．
同理可证∠AC2B=∠OC2B．（4分）

（2）若只测得AB=a，不能求出⊙O的半径r．（5分）
补充条件：另测得AC1=b．（6分）
作OD⊥C1C2，则C1D=C2D．
∵AB2=AC1•AC2，∴AC2=．
∴C1C2=AC2-AC1=-b=．
∴C1D=C1C2=．
故r=OB=AD=AC1+C1D=b+=．（10分）
说明：1．①若补充条件：另测得AC2=b，则r=；
②若补充条件：另测得C1C2=b，则r=；
③若补充条件：另测得BC1=b，则r=；
④若补充条件：另测得∠ABC1=α，则r=．
2．以上答案供参考，若有其他答案，只要正确，都应给分．