Question

如图，边长为2的等边△ABC，射线AB上有一点动P（P不与点A、点B重合），以PC为边作等边△PDC，点D与点A在BC同侧，E为AC中点，连接AD、PE、ED．

（1）试探讨四边形ABCD的形状，并说明理由．
（2）当点P在线段AB上运动，（不与点A、点B重合），若BP=x，四边形APED的面积是否为定值呢？请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，若BP=x，△PDE的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并求出△PDE的面积的最小值，及取得最小值时x的取值．

Answer

（1）点P的位置有两种情况：①若点P在线段AB上，先利用SAS证明△ADC≌△BPC，得出∠DAC=∠B=∠BCA=60°，则AD∥BC．再由∠B+∠DCB＜180°，得出DC与AB不平行，进而得出四边形ABCD是梯形；②若点P在线段AB的延长线上，先证明P、D、A、C四点共圆，则∠DAP=∠DCP=60°=∠ABC，则AD∥BC．再由P点的位置不确定，得出BP与AB不一定相等，即AD与BC不一定相等，则当BP≠AB时，四边形ADBC是梯形；当BP=AB时，四边形ADBC是菱形；
（2）先由（1）知AD=BP=x，∠DAE=∠B=60°，再根据三角形的面积公式得到S△ADE=AD•AE•sin∠DAE=x，S△APE=AP•AE•sin∠PAE=-x，然后求出S四边形APED=S△ADE+S△APE=，即可得到四边形APED的面积是为定值；
（3）过P作DA延长线的垂线PM，垂足为M．由三角形的面积公式求出S△ADP=AD•PM=x-x2，根据S△PDE=S四边形APED-S△ADP得出y=x2-x+，运用配方法写成顶点式，根据二次函数的性质即可求解．
【解析】
（1）点P的位置有两种情况：
①若点P在线段AB上，如图1，四边形ABCD是梯形．理由如下：
∵△ABC与△CPD都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCP=60°，
∴∠DCA=∠PCB，
又AC=BC，DC=PC，
∴△ADC≌△BPC，
∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°，
∴AD∥BC．
又∠DCA=∠PCB＜60°，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠DCA+60°＜120°，
∴∠B+∠DCB＜180°，
∴DC与AB不平行，
∴四边形ABCD是梯形；
②若点P在线段AB的延长线上，如图2，四边形ADBC是梯形或菱形．理由如下：
∵∠PAC=∠PDC=60°，
∴P、D、A、C四点共圆，
∴∠DAP=∠DCP=60°，
∵∠ABC=60°，
∴∠DAP=∠ABC，
∴AD∥BC．
易证△ADC≌△BPC（SAS），
∴AD=BP，
∵点P在线段AB的延长线上，
∴P点的位置不确定，BP与AB不一定相等，
∵AB=BC，
∴AD与BC不一定相等，
当BP≠AB时，四边形ADBC是梯形；
当BP=AB时，四边形ADBC是菱形；

（2）四边形APED的面积是为定值．理由如下：
由（1）知AD=BP=x，∠DAE=∠B=60°，
∵AB=2，∴AP=2-x．
∵S△ADE=AD•AE•sin∠DAE=x×1×=x，
S△APE=AP•AE•sin∠PAE=（2-x）×1×=-x，
∴S四边形APED=S△ADE+S△APE=x+（-x）=，
∴四边形APED的面积是为定值；

（3）由（1）知∠BAD=120°，过P作DA延长线的垂线PM，垂足为M，∠PAM=60°，∠APM=30°，
∴PM=（2-x），
∴S△ADP=AD•PM=x×（2-x）=x-x2，
由题意，知S△PDE=S四边形APED-S△ADP
∴y=-（x-x2）=x2-x+=（x-1）2+，
∴当x=1时，y有最小值，
即当x取1时，△PDE的面积有最小值，最小值为．