Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与直线y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）两点，抛物线的顶点坐标为Q（2，-1）．点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设P点的横坐标为t，PD的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点P的坐标．
（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用顶点式将Q点代入进而得出抛物线解析式；
（2）首先求出AB所在直线解析式，进而表示出P，D的坐标，即可得出PD长度的关系式，求出P点坐标即可；
（3）分别根据①若AP是平行四边形的一条边时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F，②当AP是平行四边形的一条对角线时，要使以A、P、E、F 为顶点的平行四边形，求出F点坐标即可．
【解析】
（1）∵抛物线的顶点为Q（2，-1），
∴设y=a（x-2）2-1，将C（0，3）代入，得：
3=a（0-2）2-1，
解得：a=1．
∴y=（x-2）2-1，即y=x2-4x+3；

（2）∵直线y=kx+b过（3，0），（0，3），则：
，
解得：，
∴AB的解析式为：y=-x+3．
由题意有P（t，t2-4t+3），D（t，-t+3），
∴PD=l=（-t+3）-（t2-4t+3）=-t2+3t，
∴当t=时，l取最大值，
此时P点的坐标为[，（）2-4×（）+3]，
即P（，-）．

（3）①若AP是平行四边形的一条边时，平移直线AP（如图）交x轴于点E，交抛物线于点F．
此时当AP=FE时，四边形PAFE是平行四边形．
∵P（，-），
∴可令F（x，）或F（x，-）．
∴x2-4x+3=或x2-4x+3=-，
解之得x1=，x2=，x3=，x4=．
但当x1=时，F点与P点重合，不能构成平行四边形．
满足条件的F点有三个，即F1（，）、F2（，）、F3（，-）；
②当AP是平行四边形的一条对角线时，要使以A、P、E、F 为顶点的平行四边形，
则有PF∥AE，即F2的纵坐标与P点的纵坐标相同，即x2-4x+3=-，
此种情况在①中已求得F3的坐标．
综上所述，满足条件的F点的坐标有三个，
即F1（，）、F2（，）、F3（，-）．