Question

已知：关于x的一元二次方程x²+2（2-m）x+3-6m=0．
（1）求证：x无论为任何实数，方程总有实数根；
（2）抛物线y=x²+2（2-m）x+3-6m与x轴交于A、B两点，A在原点左侧，B在原点右侧，且OA=3OB，请确定抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿x轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新的抛物线，请结合函数图象回答：当直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m的取值范围．

Answer

（1）要想证明x无论为任何实数，方程总有实数根，△≥0即可证明；
（2）先解方程，得出两个解，再根据OA与OB的关系求出m值，即可求出抛物线的解析式；
（3）观察两个抛物线的图象，便可知道当m＞-4且m≠-3时，直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点．
【解析】
（1）证明：△=[2（2-m）]2-4（3-6m）
=4（m+1）2（1分）
m为任何实数时，（m+1）2≥0，4（m+1）2≥0．
即：△≥0（2分）
x无论为任何实数，方程总有实数根．

（2）【解析】
由题意得，x2+2（2-m）x+3-6m=0，
解得x1=-3，x2=2m-1（3分）
A（-3，0），B（2m-1，0）
∵OA=3OB，
∴3=3（2m-1）
解得，m=1，y=x2+2x-3；

（3）【解析】
由图象可知，两个图象交于（0，-3）
当m＞-4且m≠-3时，直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点．（7分）