Question

如图所示为某种弹射装置的示意图，该装置由三部分组成，传送带左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量M=6.0kg的物块A。装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带的皮带轮逆时针匀速转动，使传送带上表面以u=2.0m/s匀速运动。传送带的右边是一半径R=1.25m位于竖直平面内的光滑1/4圆弧轨道。质量m=2.0kg的物块B从1/4圆弧的最高处由静止释放。已知物块B与传送带之间的动摩擦因数μ=0.1，传送带两轴之间的距离l=4.5m。设物块A、B之间发生的是正对弹性碰撞，第一次碰撞前，物块A静止。取g=10m/s²。求：

（1）物块B滑到1/4圆弧的最低点C时对轨道的压力；

（2）物块B与物块A第一次碰撞后弹簧的最大弹性势能；

（3）如果物块A、B每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时弹簧都会被立即锁定，而当它们再次碰撞前锁定被解除，求物块B经第一次与物块A碰撞后在传送带上运动的总时间。

Answer

（1）F1=60N，方向竖直向下（2）12J（3）8s

【解析】

（1）设物块B沿光滑曲面下滑到水平位置时的速度大小为v0．由机械能守恒定律得：

mgR=mv02
代入数据解得：v0=5 m/s，
在圆弧最低点C，由牛顿第二定律得：F−mg＝
代入数据解得：F=60N，
由牛顿第三定律可知，物块B对轨道的压力大小：F′=F=60N，方向：竖直向下．
（2）在传送带上，对物块B，由牛顿第二定律得：μmg=ma，
设物块B通过传送带后运动速度大小为v，有v2-v02=-2al
代入数据解得：v=4m/s，
由于v＞u=2 m/s，所以v=4m/s即为物块B与物块A第一次碰撞前的速度大小．
设物块A、B第一次碰撞后的速度分别为v2、v1，两物块碰撞过程系统动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得：mv=mv1+Mv2，
由机械能守恒定律得：mv2=mv12+Mv22，
解得：v1=−v=-2m/s，v2=2m/s，
物块A的速度为零时弹簧压缩量最大，弹簧弹性势能最大，由能量守恒定律得：EP=Mv22=×6×22=12J；
（3）碰撞后物块B沿水平台面向右匀速运动．设物块B在传送带上向右运动的最大位移为l′，由动能定理得：-μmgl′=0-mv12
解得：l′=2m＜4.5m，
所以物块B不能通过传送带运动到右边的曲面上．
当物块B在传送带上向右运动的速度为零后，将会沿传送带向左加速运动．
可以判断，物块B运动到左边台面时的速度大小为v1′=2m/s，
继而与物块A发生第二次碰撞．设第1次碰撞到第2次碰撞之间，物块B在传送带运动的时间为t1．由动量定理得：μmgt1=2mv1′，解得：，设物块A、B第一次碰撞后的速度分别为v4、v3，取向左为正方向，由动量守恒定律和能量守恒定律得：mv1′=mv3+Mv4，