Question

如图所示，一个质量为M长为L的圆管竖直放置，顶端塞有一个质量为m的弹性小球，M＝4 m，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4 mg。管从下端离地面距离为H处自由落下，运动过程中，管始终保持竖直，每次落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等，不计空气阻力，重力加速度为g。求：

(1)管第一次落地弹起时管和球的加速度；

(2)管第一次落地弹起后，若球没有从管中滑出，则球与管达到相同速度时，管的下端距地面的高度；

(3)管第二次弹起后球不致滑落，L应满足什么条件。

Answer

(1)2g向下 3g向上 (2) H (3)L＞H

【解析】（1）管第一次落地弹起时，管的加速度a1＝＝2g，方向向下
球的加速度a2＝＝3g，方向向上
（2）取竖直向下为正方向．球与管第一次碰地时速度v0＝ ，方向向下．
碰地后管的速度v1＝−，方向向上；球的速度v2＝，方向向下
若球刚好没有从管中滑出，设经过时间t1，球管速度v相同，则有

-v1+a1t1=v2-a2t1t1＝
又管从碰地到它弹到最高点所需时间t2，则：
因为t1＜t2，说明管在达到最高点前，球与管相对静止，故管从弹起经t1这段时间上升的高度为所求．得

（3）球与管达到相对静止后，将以速度v、加速度 g竖直上升到最高点，由于v＝v2−a2t1＝，
故这个高度是

因此，管第一次落地弹起后上升的最大高度Hm＝h1+h2＝H
这一过程球运动的位移s＝v0t1−a2t12＝H
则球与管发生相对位移s1＝h1+s＝H
当管与球从Hm再次下落，第二次落地弹起中，发生的相对位移由第一次可类推知：

s2＝Hm
所以管第二次弹起后，球不会滑出管外的条件是s1+s2＜L
即L应满足条件L＞H