Question

图中给出一段“S”形单行盘山公路的示意图，弯道1、弯道2可看作两个不同水平面上的圆弧，圆心分别为O₁、O₂，弯道中心线半径分别为r₁＝10 m、r₂＝20 m，弯道2比弯道1高h＝12 m，有一直道与两弯道圆弧相切．质量m＝1 200 kg的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是车重的1.25倍，行驶时要求汽车不打滑．(sin 37°＝0.6，sin 53°＝0.8，g取10 m/s²)

(1)求汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度v₁；

(2)汽车以v₁进入直道，以P＝30 kW的恒定功率直线行驶了t＝8.0 s，进入弯道2，此时速度恰为通过弯道2中心线的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；

(3)汽车从弯道1的A点进入，从同一直径上的B点驶离，有经验的司机会利用路面宽度，用最短时间匀速安全通过弯道，设路宽d＝10 m，求此最短时间(A、B两点都在轨道的中心线上，计算时视汽车为质点 )．

Answer

(1)11.2 m/s (2)－21 000 J (3)1.85 s

【解析】试题分析：汽车拐弯时靠静摩擦力提供向心力，当静摩擦力达到最大时，汽车的速度最大，根据牛顿第二定律求出汽车沿弯道1中心线行驶时的最大速度；同理求出汽车沿弯道2中心线行驶时的最大速度，再研究汽车在直道上行驶的过程，运用动能定理求阻力对汽车做的功；当汽车沿着与弯道1内切的弧线运动时时间最短，且速度最大，根据几何关系求出该弧线的半径，结合运动学公式求最短时间。

（1）当汽车所受的静摩擦力达到最大时，速度最大，

根据牛顿第二定律得：

代入数据解得：

（2）汽车沿弯道2的最大速度设为v2．由牛顿第二定律得：

代入数据解得：

汽车直道上行驶的过程动能定理得：

代入数据解得：

(3)沿如图所示内切的路线行驶时间最短

由图可得

解得：R＝12.5 m

设汽车沿该线路行驶的最大速度为vm

由牛顿第二定律得：

解得：

根据：

解得:θ＝106°

所以：

点睛：本题主要考查了牛顿第二定律，解决本题的关键知道汽车拐弯时向心力的来源，结合牛顿第二定律求得汽车的最大速度。