Question

某同学设想用带电粒子的运动轨迹做出“0”、“8”字样，首先，如图甲所示，在真空空间的竖直平面内建立xOy坐标系，在y1=0.1m和y2=-0.lm处有两个与x轴平行的水平界面PQ和MN把空间分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，在三个区域中分别存在匀强磁场B₁、B₂、B₃，其大小满足B₂= 2B₁= 2B₃=0.02T,方向如图甲所示。在Ⅱ区域中的y轴左右两侧还分別存在匀强电场E₁、E₂(图中未画出）。忽格所有电、磁场的边缘效应，ABCD基以坐标原点O为中心对称的正方形，其边长L=0.2m。现在界面PQ上的A处沿y轴正方向发射一比荷的带正电荷的粒子（其重力不计），粒子恰能沿图中实线途经BCD三点后回到A点并做周期性运动，轨迹构成一个“0”字。已知粒子每次穿越II区域时均做直线运动。

(1)E₁、E₂的大小和方向；

(2)去掉II和Ⅲ区域中的匀强电场和磁场，其他条件不变，仍在A处以相同的速度发射相同的粒子，请在Ⅱ和Ⅲ区城内重新设计适当的匀强电场或匀强磁场，使粒子运动的轨迹成为上、下对称的“8”字，且粒子运动的周期跟甲图中相同，请通过必要的计算和分析，求出你所设计的“场”的大小、方向和区域, 并在乙图中描给出带电粒子的运动轨迹和你所设计的“场”。（上面半圆轨迹N在图中画出）

Answer

（1）方向水平向右，方向水平向左；

（2）如图所示：

【解析】(1)在I、Ill区域中

解得

在Ⅱ区域的电磁场中运动满足B2qv=qE1

解得 E1=B2v=0.02×105=2×103V/m ，方向水平向右

同理,E2=v0B2=2×103N/C，方向水平向左

(2)根据对称性，在区域Ⅲ中只能存在匀强磁场，满足B3=B1=0.01T，方向垂直纸面向外，由于周期相等，所以在区域Ⅱ中只能存在匀强电场，且方向必须与x轴平行。从B点运动至O点做类平抛运动，时间t=y1/v=10−6s 

沿x轴方向的位移为，则

由牛顿第二定律得：qE=ma                                          

解得：E=2×103V/m                                                 

根据对称性，电场方向如图中Ⅱ区域箭头所示，运动轨迹如图所示. 

【名师点睛】

带电粒子在区域Ⅱ和Ⅲ中做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，由左手定则判断洛伦兹力的方向就能知道电场力的方向和电场强度方向。由二力平衡列式，求场强的大小；根据对称性，在区域Ⅲ中只能存在匀强磁场，满足B3=B1=0.01 T，方向垂直纸面向外。由于周期相等，所以在区域Ⅱ中只能存在匀强电场，且方向必须与x轴平行。从B点运动至O点做类平抛运动，根据平抛运动的特点结合牛顿第二定律即可求解。